*第1页，共16页，星期日，2025年，2月5日由于经常注油和取油，有时很难知道油罐中剩油的数量。这给现有储油量的统计带来很大的麻烦。显然，将剩油取出计量是不现实的。因此，希望能设计一个精细的标尺：工人只需将该尺垂直插入使尺端至油罐的最底部，就可以根据标尺上的油痕位置的刻度获知剩油量的多少。这是一个来自油田的问题。*第2页，共16页，星期日，2025年，2月5日13.3数学模型设圆柱的底面半径为R，长度为L；而圆锥的底面半径也是R，高为A。若标尺被油浸湿位置的高度为H，而此时罐内的油量为V。那么我们的问题归结为求出函数换言之，要求油量函数的反函数。*第3页，共16页，星期日，2025年，2月5日由于对称性，我们只要研究的情形就行了。13.4问题的解法Ⅰ．求油量函数的解析方法其中和分别为相应圆柱和圆锥（一侧部分）中的储油量。先求。*第4页，共16页，星期日，2025年，2月5日设圆柱体截面中储油部分对应的弓形区域面积为S(H)，弓形对应的圆心角的一半为那么易得利用三角函数表达式，就有*第5页，共16页，星期日，2025年，2月5日*第6页，共16页，星期日，2025年，2月5日再求设与圆锥体底面平行且距底面x处的截面上表示储油部分的弓形区域面积为Q，那么和前面S不同的是：Q不仅与H有关，而且与x有关。设该弓形的半径为r高为h，由几何关系（见图13.3）不难看出：从而得到*第7页，共16页，星期日，2025年，2月5日于是类似于S的求法，有通过作变换*第8页，共16页，星期日，2025年，2月5日这个积分虽然比较复杂，但还是可以积出来，建议读者自己进行计算，也可以借助数学软件。具体结果为从而可知*第9页，共16页，星期日，2025年，2月5日综合（13.4）、（13.6）和（13.11）三式，就有*第10页，共16页，星期日，2025年，2月5日Ⅱ．刻度位置函数的求法显然，要由油量函数的解析表达式（13.12）来解析地求出反函数H(V)的显式表示是不可能的。介绍两种近似方法。1．插值法将区间[0，R]作如上等分：那么由式（13.12）可以求得V在各分点的值：现在的问题是：如果给出油量V*，如何确定（求出）相应的标尺刻度位置H*？而这实际上是求方程的根。*第11页，共16页，星期日，2025年，2月5日（1）线性插值设，在此区间上用线性函数近似H(V)，则有（2）二次插值先找出最接近的V*的用二次函数近似H(V)，则有，然后在插值方法还有多种，这里介绍的是最简单的。*第12页，共16页，星期日，2025年，2月5日