2025年考研数学二真题及答案
一、单项选择题
1.函数$f(x)=\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}$在$x=0$处的极限为（）
A.$-\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.$0$D.不存在
答案：A
2.设函数$y=y(x)$由方程$e^{x+y}+\cos(xy)=1$确定，则$\frac{dy}{dx}\big|_{x=0}$的值为（）
A.$0$B.$1$C.$-1$D.$2$
答案：C
3.已知函数$f(x)$具有二阶导数，且$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=0$，$f(0)=4$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}$的值为（）
A.$0$B.$2$C.$4$D.不存在
答案：B
4.设函数$f(x)$连续，且$f(0)\neq0$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt}{x\int_{0}^{x}f(x-t)dt}$等于（）
A.$1$B.$\frac{1}{2}$C.$2$D.$3$
答案：B
5.曲线$y=\frac{1}{x}+\ln(1+e^x)$的渐近线的条数为（）
A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$
答案：D
6.设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上有定义，则函数$f(x+\frac{1}{2})+f(x-\frac{1}{2})$的定义域是（）
A.$[0,1]$B.$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$C.$[\frac{1}{2},1]$D.$[0,\frac{1}{2}]$
答案：D
7.设函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$f(0)=0$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x^2)}{\sinx^2}$等于（）
A.$f(0)$B.$2f(0)$C.$\frac{1}{2}f(0)$D.$0$
答案：A
8.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(x)\gt0$，则方程$\int_{a}^{x}f(t)dt+\int_{b}^{x}\frac{1}{f(t)}dt=0$在区间$(a,b)$内的根的个数为（）
A.$0$B.$1$C.$2$D.无穷多个
答案：B
9.设函数$f(x)$在区间$(-\infty,+\infty)$内连续，其导函数的图形如图所示，则$f(x)$有（）
A.一个极小值点和两个极大值点
B.两个极小值点和一个极大值点
C.两个极小值点和两个极大值点
D.三个极小值点和一个极大值点
答案：C
10.设函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上可导，$f(0)=1$，且满足等式$f(x)+f(x)-\frac{1}{x+1}\int_{0}^{x}f(t)dt=0$，则$f(x)$等于（）
A.$\frac{e^{-x}}{x+1}$B.$\frac{e^{x}}{x+1}$C.$\frac{1}{x+1}$D.$e^{-x}$
答案：A
二、多项选择题
1.下列函数中，在$x=0$处连续且可导的有（）
A.$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x},x\neq0\\0,x=0\end{cases}$
B.$f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x},x\neq0\\1,x=0\end{cases}$
C.$f(x)=\begin{cases}e^x-1,x\geq0\\-x,x\lt0\end{cases}$
D.$f(x)=\begin{cases}\ln(1+x),x\geq0\\x,x\lt0\end{cases}$
答案：ABC
2.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可导，则下列结论正确的有（）
A.若$f(x)\gt0$，则$f(x)$在$[a,b]$上单调递增
B.若$f(x)$在$[a,b]$上单调递增，则$f(x)\geq0$
C.若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上一定有最大值和最小值
D.若$f(x)$在$[a,b]$上有最大值和最小值，则$f(x)$在$[a,b]$上一定连续
答案：A