**数学期望的定义第1页，共18页，星期日，2025年，2月5日预备知识1、算术平均值若有n个数为的算术平均值.例：一个数学专业在校大学新生，期末成绩为：数学分析80分，高等代数85分，解析几何90分，大学英语85分，形势与政策80分，则该学生的算术平均分数为：称第2页，共18页，星期日，2025年，2月5日这个数字显然不能反映该同学的真正成绩，因为它没有考虑到这五个科目的相对重要性。譬如在这个年级中，数学分析为5学分，高等代数4学分，解析几何3学分，大学英语3学分，形势与政策1学分.因此下面的计算更为合理些：预备知识第3页，共18页，星期日，2025年，2月5日2、加权平均值给定权预备知识满足称为关于权的加权平均值.权，又称权重(Weight)第4页，共18页，星期日，2025年，2月5日3、加权平均值与所选的“权”有关在这个例子中，若数学分析为每周6学时，高等代数4学时，解析几何3学时，大学英语4学时，形势与政策1学时，则该生的加权平均分也可以用下式表达：预备知识第5页，共18页，星期日，2025年，2月5日预备知识等分“权”（算术平均值）按学分分配“权”按学时分配“权”第6页，共18页，星期日，2025年，2月5日1、设X为离散r.v.,分布律为若级数绝对收敛,则称其和为X的数学期望，又称期望,均值或（加权）平均值，记作E(X),即§4.1随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望的定义即第7页，共18页，星期日，2025年，2月5日一、离散型随机变量的数学期望的定义2、在定义中对级数要求绝对收敛的必要性因为诸的顺序对随机变量取期望并不是本质的因而在数学期望定义中应允许任意改变求和次序，而不影响收敛性及其和值，这在数学上相当于绝对收敛.[反例]设离散型随机变量X的概率分布为因此按照数学期望定义，该随机变量的数学期望不存在.第8页，共18页，星期日，2025年，2月5日3、数学期望是随机变量的数字特征，而不是本质特征.一、离散型随机变量的数学期望的定义P-1010.10.80.1P-2020.20.60.2它们具有相同的数学期望，但是却是两个完全不同的随机变量.注：随机变量的概率分布，才是随机变量唯一的本质特征.第9页，共18页，星期日，2025年，2月5日[例1]设r.vX的分布律如下表,求E(X).XP-13解甲乙两人赌博，甲赢的概率为，输的概率为，甲每赢一次可从乙处得3元，而每输一次，要给乙1元，则甲平均每次可赢元。§4.1随机变量的数学期望二、数学期望的应用实例第10页，共18页，星期日，2025年，2月5日§4.1随机变量的数学期望二、数学期望的应用实例[例2]某人有10万元现金，想投资某个项目，预计成功的机会为30%，可得利润8万元；失败的机会为70%，将损失2万元，若存入银行，利率为5%，问是否做此项投资？X8-2P0.30.7分析：记为投资利润，其概率分布为因此而存入银行的利息为0.5万元，从数学期望角度，似应该选择投资，当然要看当事人是否愿意冒这个风险.第11页，共18页，星期日，2025年，2月5日1、X~B(n,p),即则2、若X~B(1,p),即§4.1随机变量的数学期望三、常用离散型随机变量的数学期望则第12页，共18页，星期日，2025年，2月5日三、常用离散型随机的变量数学期望3、X~Possion(?),即则第13页，共18页，星期日，2025年，2月5日**