*第1页，共19页，星期日，2025年，2月5日1.行波法；2.分离变量法；3.幂级数解法；4.格林函数法；5.积分变换法；6.保角变换法；7.变分法；8.计算机仿真解法；9.数值计算法数学物理方程的求解*第2页，共19页，星期日，2025年，2月5日分离变量理论考察如下两变量的二阶线性齐次偏微分方程：试确定方程如下形式的解：将该解代入方程可得：*第3页，共19页，星期日，2025年，2月5日对于常系数偏微分方程，我们有：因为X、Y分别是关于x、y的函数，所以λ一定是一个常数；这样原方程就化为如下两个常微分方程：*第4页，共19页，星期日，2025年，2月5日对于变系数偏微分方程，一般不能分离变量。*第5页，共19页，星期日，2025年，2月5日有界弦的自由振动研究两端固定的均匀弦的自由振动，即定解问题：两端固定的弦的自由振动会形成驻波，此时行波法将不再适用（？）。考虑到驻波的波函数为：*第6页，共19页，星期日，2025年，2月5日类比驻波波函数，可设定解问题的具有一个可分离变量的特解为：将这一特解代入泛定方程可得：其中X和T分别为x和t的函数。易知λ为常数，故原泛定方程变为：*第7页，共19页，星期日，2025年，2月5日相应地，边界条件变为：这样就得到如下常微分方程：这个常微分方程的解依λ的取值不同而不同，需要讨论。*第8页，共19页，星期日，2025年，2月5日当λ0时，该方程有非零解，且其解为：易知当λ=0时，微分方程的解为：但边界条件要求类似地，当λ＞0时，微分方程的解为：而边界条件要求*第9页，共19页，星期日，2025年，2月5日关于T的方程变为：其解为：这样就得到泛定方程满足边界条件的一个特解：这样的特解有无穷多个，但是其中的每一个并不总能满足初始条件的要求。*第10页，共19页，星期日，2025年，2月5日因为泛定方程和边界条件都是线性的，可以把这些特解叠加起来，并让其满足初始条件：*第11页，共19页，星期日，2025年，2月5日这样我们就得到如下定解问题存在如下形式的解：*第12页，共19页，星期日，2025年，2月5日本征值问题在求解方程过程中，我们遇到如下问题：通过讨论我们知道，仅当λ＞0，且为某些特定值时该方程有非平庸解。这些值称为方程在相应边界条件下的本征值；方程相应于不同λ值的非零解称为本征函数。求解本征值和本征函数的问题称为本征值问题。*第13页，共19页，星期日，2025年，2月5日解的物理意义驻波波函数这样，该定解问题的解可以看作一系列（频率、振幅、位相各异的）驻波波函数的叠加。所以分离变量法又称为驻波法。各驻波的振幅、相位由初始条件决定；频率则和初始条件无关，称为弦的本征频率。*第14页，共19页，星期日，2025年，2月5日