*第29页，共69页，星期日，2025年，2月5日三、小结行列式的三类基本运算是行列式计算的基础；行列式的计算方法有很多种，要着重掌握下列五种:化为上三角（下三角）行列式提出公因子法加行加列法递推法分拆行列法*第30页，共69页，星期日，2025年，2月5日行列式按行（列）展开法则第六节行列式按行（列）展开1.定理的引入这表明三阶行列式可以按第一行的元素写成3个行列式的和.类似地，可以按照其他行（列）写成3个行列式的和.对于一般的行列式也有如此结果.为此,先介绍两个概念.注：*第31页，共69页，星期日，2025年，2月5日2.余子式和代数余子式在阶行列式中，把元所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元的余子式，记作；记叫做元的代数余子式.例如中元的余子式和代数余子式分别为定义*第32页，共69页，星期日，2025年，2月5日说明(1)对于给定的阶行列式，元的余子式和代数余子式仅与位置有关，而与中第行、第列元素的数值大小和正负无关.(2)它们的联系是，因而当为偶数时，二者相同；当为奇数时，二者相反.*第33页，共69页，星期日，2025年，2月5日3.展开法则定理3行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或例如*第34页，共69页，星期日，2025年，2月5日说明此定理叫做行列式按行（列)展开法则，利用这个法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算.按照第二行展开再如证明*第35页，共69页，星期日，2025年，2月5日4.行列式的计算（2）例8计算行列式解*第36页，共69页，星期日，2025年，2月5日例9证明范德蒙德（Vandermonde）行列式其中记号“”表示全体同类因子的乘积.说明范德蒙德行列式可以看作个变元的函数，有三个特点：（1）从列的角度看，第列元素从上到下依次为变元的零次幂、一次幂、、次幂，*第37页，共69页，星期日，2025年，2月5日（2）从行的角度看，第行的元素的指数相同，元是变元的次幂，（3）从结果看，它是关于这些变元的次齐次函数；而且可分解为个一次因式之积，而每个因子形如，其中，即足标大的变元与足标小的变元之差.反过来，个变元之间形如这样的一次因子总计为个.于是，阶范德蒙德行列式是所有可能的足标大的变元与足标小的变元之差作为其因子的元函数.除变元的名称外，这样的函数是唯一确定的.*第38页，共69页，星期日，2025年，2月5日证用数学归纳法.因为所以当时，结论成立.现在假设结论对于阶范德蒙德行列式成立，要证结论对阶范德蒙德行列式也成立，为此，要将降阶，*第39页，共69页，星期日，2025年，2月5日证用数学归纳法.因为所以当时，结论成立.现在假设结论对于阶范德蒙德行列式成立，要证结论对阶范德蒙德行列式也成立，为此，要将降阶，*第40页，共69页，星期日，2025年，2月5日证用数学归纳法.因为所以当时，结论成立.现在假设结论对于阶范德蒙德行列式成立，要证结论对阶范德蒙德行列式也成立，为此，要将降阶，采用了加行加列法*第41页，共69页，星期日，2025年，2月5日阶范德蒙德行列式每列提出公因子*第42页，共69页，星期日，2025年，2月5日例10利用范德蒙德行列式计算4阶行列式解*第43页，共69页，星期日，2025年，2月5日5.代数余子式的性质推论行列式某一行（列）的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即或证明（1）综合定理3及其推论，有关于代数余子式的重要性质：关于行