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四川省成都市实验外国语学校2024-2025学年高二下学期第二阶段考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在等差数列中，已知，则数列的前项之和为（????）
A． B． C． D．
2．先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记为），记事件“第一次掷出的点数小于4”，事件“两次点数之和大于4”，则（????）
A． B． C． D．
3．2025年2月深圳福田区推出基于DeepSeek开发的AI数智员工，并上线福田区政务大模型2．0版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出20名AI数智员工（假定这20名AI数智员工没有区别），分别从事三个服务项目，若每个项目至少需要5名AI数智员工，则不同的分配方法种数为（???）
A．21 B．18 C．15 D．12
4．在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为平面，平面的中心，则点B到平面APQ的距离为（????）
A． B． C． D．
5．各项均为正数的等比数列的前5项和为，且，则（????）
A．2 B．4 C．8 D．16
6．若的展开式中的系数为12，则其展开式中所有项的系数的和为（????）
A．16 B．32 C．48 D．64
7．已知函数，则，，的大小关系是（???）
A． B．
C． D．
8．如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得的三条曲线及围成的，若，则下列说法错误的是（???）
??
A．开口向上的抛物线的方程为
B．四叶图上的点到点的距离的最大值为
C．动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为2
D．四叶图的面积小于32
二、多选题
9．已知函数，则（????）
A． B．在上单调递增
C．有最小值 D．有两个零点
10．暑假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁，概率分别为；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为，下列说法正确的是（????）
A．甲同学今天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件
B．甲同学今天早上乘公交车出行与乘地铁出行相互独立
C．甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于
D．若甲同学今天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为
11．在数列中，，，，是数列的前项和，则（???）
A．数列是等比数列 B．数列是等差数列
C． D．
三、填空题
12．设等差数列的前项和分别为，若，则.
13．已知分别为双曲线的左，右焦点，以为直径的圆与其中一条渐近线在第一象限交于点，过点作另一条渐近线的垂线，点恰在此垂线上，则双曲线的离心率为．
14．现将8个体积相同但质量均不同的小球放入恰好能容纳8个小球且底面圆直径与小球直径相同的圆柱形卡槽内，这8个小球分别为2个红球、4个白球、2个黑球，若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，则共有种不同的放法；若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，则共有种不同的放法．
四、解答题
15．为迎接校篮球社团组织的“李宁杯”三人篮球赛，某班甲、乙两位同学决定提前训练，为比赛做准备.在投篮训练中，甲、乙两位同学各自投篮，甲投一次得3分、2分、0分的概率分别为，乙投一次得3分、2分、0分的概率分别为，且甲、乙两人每次投篮的得分情况相互独立.
(1)若甲、乙两人各进行两次投篮，求甲、乙的总得分不少于11分的概率；
(2)若甲、乙两人各进行一次投篮，记两人的总得分为，求的分布列及数学期望.
16．如图，在三棱柱中，平面，是边长为2的正三角形，，，分别为，的中点.
??
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
17．正项数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，若对于任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．已知双曲线的离心率为2，右顶点到一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且为坐标原点，求证：点到直线的距离为定值．
19．已知函数（其中e为自然对数的底数）.
(1)求函数的最小值；
(2)若，且在上恒成立，求的最大值；
(3)求证：.
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《四川省成都市实验外国语学校2024-20