模块07空间向量与立体几何（测试卷）
考试时间：120分钟满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．（2025·浙江温州·模拟预测）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（????）
A． B． C． D．
2．（2025·福建漳州·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线与底面所成角为，则该圆台的体积为（????）
A． B． C． D．
3．（2025·辽宁·模拟预测）在正方体中，下列结论错误的是（???）
A．∥平面
B．平面
C．存在过的平面，使得
D．存在过的平面，使得
4．（2025·辽宁·二模）如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则（???）
A． B． C． D．
5．（2025·福建漳州·模拟预测）如图，在高为16的圆柱型筒中，放置两个半径均为3的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面与两个小球也相切，平面被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为（????）
A． B． C． D．
6．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（???）
A． B． C． D．
7．（2025·安徽·模拟预测）已知一件艺术品由外层一个大正四面体，内层一个小正方体构成，外层正四面体的棱长为2，在该大正四面体内放置一个棱长为的小正方体，并且小正方体在大正四面体内可以任意转动，则的最大值为（???）
A． B． C． D．
8．（2025·福建·模拟预测）在三棱锥中，已知平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（???）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。
9．（2025·福建漳州·模拟预测）已知a，b，c是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中不正确的是（????）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．（2025·贵州黔东南·模拟预测）《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体.如图，现有一高为2的“刍童”，其中，则（????）
A．该“刍童”的所有侧棱的延长线交于一点
B．该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角的正弦值均为
C．该“刍童”外接球的表面积为
D．该“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值为
11．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）给定棱长为1的正方体，是正方形内（包括边界）一点，下列结论正确的有（????）
A．三棱锥的体积为定值
B．若点在线段上，则异面直线与所成角为定值
C．若点在线段上，则的最小值为
D．若，则点轨迹的长度为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12．（2025·河南·模拟预测）已知底面圆半径为，母线长为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的体积等于．
13．（2025·江苏苏州·模拟预测）棱长为2的正方体中，E是棱上的动点，F是棱的中点，当直线与所成角最小时，的面积为.
14．（2025·辽宁·二模）我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”，如左图.
??
如右图，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于两点，为平面下方一点，若为垂棱四面体，则其外接球表面积是的函数.
（1）的定义域是；（2）的最小值是.
四、解答题：本题共5小题（13+15+15+17+17）满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把折起，使点D到达点P的位置，且．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的表面积
16．（2024·内蒙古包头·三模）如图，平行六面体的体积为，，，，．
(1)求点A到平面的距离；
(2)求二面角的正弦值．
17．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点．
(1)设平面与直线相交于点，求证：平面；
(2)若平面，，，，求直线与平面所成角的大小．
18．（2025·辽宁·二模）如图，四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，其中，..
(1)若平面内有一经过点的曲线，该曲线上的任