模块06数列（测试卷）
考试时间：120分钟满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．（2024?青海二模）已知数列的通项公式为，若为递增数列，则的取值范围为
A． B． C．， D．，
2．（2024?平罗县校级模拟）记为等差数列的前项和，若，，则
A．40 B．60 C．76 D．88
3．（2024?西宁二模）等比数列的各项均为正数，且，则
A．12 B．10 C．5 D．
4．（2024?义乌市模拟）已知是等比数列，若，，则的值为
A．9 B． C． D．81
5．（2024?雁峰区校级模拟）设数列的前项之积为，满足，则
A． B． C． D．
6．（2024?三台县校级模拟）设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024?浦东新区二模）设，，，记，2，，，令有穷数列为零点的个数，2，，，则有以下两个结论：
①存在，使得为常数列；
②存在，使得为公差不为零的等差数列．那么
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误
8．（2024?益阳模拟）2023年的某一天某红酒厂商为了在线出售其红酒产品，联合小哥直播间，邀请某“网红”来现场带货．在带货期间，为吸引顾客光临直播间、增加客流量，发起了这样一个活动：如果在直播间进来的顾客中，出现生日相同的顾客，则奖励生日相同的顾客红酒1瓶．假设每个随机来访的顾客的出生日期都是相互独立的，并且每个人都等可能地出生在一年天）中任何一天年共365天），在远小于365时，近似地，，其中．如果要保证直播间至少两个人的生日在同一天的概率不小于，那么来到直播间的人数最少应该为
A．21 B．22 C．23 D．24
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。
9．（2024?福建模拟）已知等差数列的前项和为，公差．若，则
A． B． C． D．
10．（2024?上饶模拟）已知正项数列满足，，其中，则
A．为单调递减数列
B．
C．
D．
11．（2024?下陆区校级三模）已知数列的通项为，前项和为，则下列选项中正确的有
A．如果，则，，使得
B．如果，则，，使得
C．如果，则，，使得
D．如果，，使得，则，，使得
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12．（2024?孝南区校级模拟）已知等差数列的前项和为，若，则．
13．（2024?西藏模拟）已知等比数列的前项和为，则．
14．（2024?石家庄模拟）已知数列满足：，，，定义：表示整数除以4的余数与整数除以4的余数相同，例：，．设其中，数列的前项和为，则；满足的最小值为．
四、解答题：本题共5小题（13+15+15+17+17）满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024?合肥模拟）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，，，．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
16．（2024?湖北模拟）已知各项均不为0的数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）若对于任意，成立，求实数的取值范围．
17．（2024?沧州一模）在数列中，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列中的和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入个数，，，使，，，，成等差数列，这样可以得到新数列，，，，，，，，，，，，设数列的前项和为，求（用数字作答）．
18．（2024?西城区校级模拟）已知集合，2，3，，，其中，，，，都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数，，2，，，．
（1）若，，，，，，直接写出所有满足条件的集合；
（2）若，且对任意，都有，求的最大值；
（3）若，，2，，且对任意，都有，求的最大值．
19．（2024?日照三模）对于数列，，，，，若不改变，仅改变，，，中部分项的符号，得到的新数列称为数列的一个生成数列．如仅改变数列1，2，3，4，5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1，，，4，5．已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和．
（1）写出的所有可能值；
（2）若生成数列满足：，求的通项公式；
（3）证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为：．