模块03导数及其应用（测试卷）
考试时间：120分钟满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．（2024?江宁区校级二模）曲线在原点处的切线方程为
A． B． C． D．
【分析】根据导数的几何意义即可得解．
【解答】解：由题意，令，，则，
又，故切线方程为．
故选：．
【点评】本题考查导数的几何意义，属于基础题．
2．（2024?邹城市校级三模）已知，，，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【分析】设函数，，求导可知在上单调递增，可得，即，再结合对数函数和指数函数的性质求解即可．
【解答】解：设函数，，
则，
在上单调递增，
，即，
，即，
，，
，，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了指数函数和对数函数的性质，属于中档题．
3．（2024?江西模拟）已知函数及其导函数定义域均为，记，且，为偶函数，则（7）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】对两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可．
【解答】解：因为为偶函数，，
所以，
对两边同时求导，得，
所以有，所以函数的周期为8，
在中，令，所以（2），
因此（2），
因为为偶函数，
所以有（7）（1），
（7）（2），
由（1），（2）可得：（7），
所以（7），
故选：．
【点评】本题主要考查导数的运算，考查转化能力，属于中档题．
4．（2024?辽宁二模）已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
【分析】根据题意，构造函数，可得函数在上单调递增，再根据函数单调性解得，由充分性必要性的定义，即可得到结果．
【解答】解：因为，则，
令，则，所以在上单调递增．
，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，充分条件与必要条件，属于中档题．
5．（2024?鼓楼区校级模拟）关于的不等式的解集中有且仅有两个整数，则正实数的取值范围是
A． B．， C．， D．
【分析】设，，画出图象，数形结合即可得答案．
【解答】解：由题意可知，，
设，，
由．可知在上为减函数，
在，上为增函数，
的图象恒过点，在同一坐标系中作出，的图象如图，
由于，若原不等式有且只有两个整数，，使得，
且，则，即，
解得．
故选：．
【点评】本题考查函数图象与方程的解的关系，考查分类讨论思想和数形结合，属于中档题．
6．（2024?渝中区校级模拟）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为
A． B．1 C．3 D．或3
【分析】设切点为，根据题意可得，，且，由此可得的值．
【解答】解：设切点为，
由，可得，
则，即，
可得，
则切线方程为，即，
又圆心坐标为，半径为，
则，
解得，
若，则，
若，则．
故选：．
【点评】本题考查导数的几何意义以及直线与圆相切的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
7．（2024?河北模拟）当时，恒成立，则实数的取值范围为
A．， B． C． D．
【分析】化简得到，再由，结合三角函数的图象与性质，即可求解．
【解答】解：由，可得，
因为，可得，所以，
可得，
又因为，
所以
即，
因为，
因为，可得，所以，
则，则，
要使得不等式，即恒成立，
所以，即实数的取值范围为．
故选：．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换和不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
8．（2024?福田区校级模拟）已知函数对任意成立，则的最小值为
A． B． C．1 D．2
【分析】由导数探讨恒成立的不等式并建立，的不等式，再构造函数，利用导数求出最小值即得．
【解答】解：函数，则，依题意，，
当时，恒有，函数单调递增，故当时，，
而函数在上单调递增，函数值集合为，
因此存在，当时，，不符合题意，则有，
当时，，当时，，
则函数在，上单调递减，在，上单调递增，
即有，于是，
则，
令，则，
当时，（a），当时，（a），
即函数（a）在上递减，在上递增，因此，
所以的最小值为2．
故选：．
【点评】本题主要考查了导数与单调性在不等式恒成立求解参数范围中的应用，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。
9．（2024?渝北区校级模拟）已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，（2）（1），且对任意，，，则
A． B．（6）
C． D．
【分析】根据题意，利用赋值法，结合函数奇偶性的