培优点10空间动态问题突破
（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
空间动态问题，是高考常考题型，常以客观题出现．常见题型有空间位置关系判定、轨迹问题、最值问题、范围问题等．
【核心题型】
题型一空间位置关系的判定
解决空间位置关系的动点问题
(1)应用“位置关系定理”转化．
(2)建立“坐标系”计算．
【例题1】（2024·福建泉州·二模）在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，则（????）
A．直线∥平面PCD B．直线AF与平面PBC所成角的最小值是
C．直线直线PC D．三棱锥的体积随BF的增大而减小
【变式1】（2023·湖南·模拟预测）如图，在正方体中，在线段上运动，则下列直线与平面的夹角为定值的是（????）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）正方体中，是棱的中点，在侧面上运动，且满足平面.以下命题正确的有.
①侧面上存在点，使得
②直线与直线所成角可能为
③平面与平面所成锐二面角的正切值为
④设正方体棱长为1，则过点的平面截正方体所得的截面面积最大为
【变式3】（2024·云南·模拟预测）如图，在多面体中，，记平面平面，，若在以为直径的圆上运动，
(1)证明：；
(2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
题型二轨迹问题
解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法
(1)几何法：根据平面的性质进行判定．
(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算．
(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除
【例题2】（2024·陕西铜川·模拟预测）在正四棱台中，，，是四边形内的动点，且，则动点运动轨迹的长度为（????）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为（???）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·江西宜春·模拟预测）如图，在四面体中，和均是边长为6的等边三角形，，则四面体外接球的表面积为；点E是线段AD的中点，点F在四面体的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的长度为.
【变式3】（2024·重庆·一模）如图，四棱锥中，底面，四边形中，，．
??
(1)若为的中点，求证：平面平面；
(2)若平面与平面所成的角的余弦值为．
（ⅰ）求线段的长；
（ⅱ）设为内（含边界）的一点，且，求满足条件的所有点组成的轨迹的长度．
题型三最值、范围问题
在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思路是
(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解．
(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值
【例题3】（2024·山西吕梁·三模）在四面体中，与互相垂直，，且，则四面体体积的最大值为（????）
A．4 B．6 C．8 D．4.5
【变式1】（2024·陕西商洛·模拟预测）某圆柱的轴截面是面积为12的正方形为圆柱底面圆弧的中点，在圆柱内放置一个球，则当球的体积最大时，平面与球的交线长为（????）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·浙江·模拟预测）三棱锥的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为．
【变式3】（2024·浙江·三模）在四棱锥中，，，，，、分别为直线，上的动点.
(1)若异面直线与所成的角为，判断与是否具有垂直关系并说明理由；
(2)若，，求直线与平面所成角的最大值.
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2023·福建龙岩·二模）正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为（????）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内一动点（含边界）．若平面，则动点F的轨迹长度为（????）
A． B． C． D．
3．（2024·北京·模拟预测）在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，是正方体表面上的一点，若，则线段长度的最大值是（????）
??
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，P为线段的中点，Q为线段（包括端点）上一点，则的面积的最大值为（????）
??
A． B． C．2 D．
二、多选题
5．（2024·广东广州·三模）在正四棱柱中，，，E，