模块05平面向量与复数（测试卷）
考试时间：120分钟满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．（2024?湖北模拟）设为虚数单位，若复数满足，则
A．1 B． C． D．2
2．（2024?故城县校级模拟）如图，在平行四边形中，为对角线的交点，为的中点，为的中点，若，则
A．1 B．2 C． D．
3．（2024?临渭区校级模拟）已知是虚数单位，则复数
A． B．1 C． D．
4．（2024?成都模拟）已知向量是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，称有序实数对为点的广义坐标．若点，的广义坐标分别为，，，，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024?鼓楼区校级模拟）向量在向量上的投影为，且，则
A． B． C． D．
6．（2024?西宁二模）如图，在中，为的中点，则
A． B． C． D．
7．（2024?泰州模拟）在平行四边形中，，，，若，则的最小值为
A． B． C．1 D．
8．（2024?成都模拟）已知正方形的边长为1，，分别是边，上的点（均不与端点重合），记，的面积分别为，．若，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。
9．（2024?葫芦岛二模）已知向量为非零向量，下列说法正确的有
A．若，则
B．已知向量，则
C．若，则和在上的投影向量相等
D．已知，则点，，一定共线
10．（2024?浙江模拟）设，向量，向量，则
A．必不互为平行向量 B．必不互为垂直向量
C．存在，使 D．对任意
11．（2024?船营区校级模拟）设三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，，，使得：成立．我们把叫做基底，把有序实数组，，叫做基底下向量的斜坐标．已知三棱锥．以为坐标原点，以为轴正方向，以为轴正方向，以为轴正方向，以同方向上的单位向量为基底，建立斜坐标系，则下列结论正确的是
A．
B．的重心坐标为
C．若，1，，则
D．异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12．（2024?江苏模拟）设，为虚数单位．若集合，，，1，，且，则．
13．（2024?包河区校级三模）已知向量，，若，则．
14．（2024?太原三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以直角三角形的斜边为边得到的正方形）．类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点是内（含边界）一点，若，则的最大值为．
四、解答题：本题共5小题（13+15+15+17+17）满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024?乌鲁木齐模拟）在中，点，分别为，的中点，与交于点，，．
（Ⅰ）若，求中线的长；
（Ⅱ）若是锐角三角形，求四边形面积的取值范围．
16．（2024?阜阳模拟）在中，角，，的对边分别是，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积．
17．（2024?龙凤区校级模拟）如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点，且．
（1）求的大小；
（2）求面积的最小值．
18．（2024?锦州模拟）已知，，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若锐角的内角，，的对边分别为，，，且，（B），求面积的取值范围．
19．（2024?苏州模拟）已知点，，和动点满足是，的等差中项．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点，的连线交轴于点，如果为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围；
（3）在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上．