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考点49直线与圆、圆与圆的位置关系
（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
【知识点】
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ0
Δ＝0
Δ0
几何观点
dr
d＝r
dr
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
图形
量的关系
外离
dr1＋r2
外切
d＝r1＋r2
相交
|r1－r2|dr1＋r2
内切
d＝|r1－r2|
内含
d|r1－r2|
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2).
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(?xM＋xN?2－4xMxN).
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)
【核心题型】
题型一直线与圆的位置关系
命题点1位置关系的判断
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系判断．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
【例题1】（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（????）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】C
【分析】根据题意可得直线表示过定点，且除去的直线，点在圆上，可判断直线与圆相交.
【详解】因为直线，即，
当时，，解得，
所以直线表示过定点，且除去的直线，
将圆的方程化为标准方程为，因为，点在圆上，
所以直线与圆可能相交，可能相切，相切时直线为，不合题意，
所以直线与圆相交.
故选：C
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知D，E为正实数，则直线与圆的位置关系是（????）
A．相离 B．相切 C．相交且不过圆心 D．相交且过圆心
【答案】B
【分析】利用圆心到直线的距离来判断即可.
【详解】将可化为标准方程，
则该圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切.
故选:B
【变式2】（2024·山西临汾·一模）已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是.
【答案】相离
【分析】根据点与圆的位置关系得到，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系即可.
【详解】因为点在圆内，所以，
圆的圆心到直线的距离为，
又，则，所以直线与圆相离.
故答案为：相离
【变式3】（2022·江苏南京·模拟预测）已知动点是曲线上任一点，动点到点的距离和到直线的距离相等，圆的方程为．
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
(2)设、、是上的三个点，直线、均与圆相切，判断直线与圆的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)若直线、与圆相切，则直线与圆相切，理由见解析
【分析】（1）由抛物线的定义可得出曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，进而可求得曲线的方程；
（2）分析可知直线、、的斜率都存在，设、、，其中、、两两互不相等，利用二次方程根与系数的关系以及点到直线的距离公式以及几何法判断可得出结论.
【详解】（1）解：由题设知，曲线上任意点到点的距离和到直线的距离相等，
因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，
故曲线的方程为.
（2）解：若直线的斜率不存在，则直线与曲线只有一个交点，不合乎题意，
所以，直线、、的斜率都存在，
设、、，则、、两两互不相等，
则，同理，，
所以直线方程为，整理得，
同理可知直线的方程为，
因为直线与圆相切，则，
整理可得，同理可得，
所以、为方程的两根，则，
所以，，，
圆心到直线