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培优点09球的切、接问题
（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
球的切、接问题，是历年高考的热点内容，经常以客观题出现．一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题，考查球的体积与表面积，其关键点是确定球心．
【核心题型】
题型一定义法
到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．
【例题1】（2024·福建厦门·模拟预测）已知三棱锥中，平面，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为（????）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·贵州毕节·三模）在正四棱台中，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（????）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·陕西西安·一模）一个正四棱柱底面边长为2，高为，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为.
【变式3】（2024·宁夏石嘴山·一模）已知正四棱锥的底面边长为2，高为4，它的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是
题型二补形法
(1)补形法的解题策略
①侧面为直角三角形，或对棱均相等的模型和正四面体，可以还原到正方体或长方体中去求解；②直三棱锥补成三棱柱求解．
(2)正方体与球的切、接问题的常用结论
正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.
(3)若长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)．
【例题2】（2024·天津武清·模拟预测）四棱锥的底面为正方形，，动点在线段上，则下列结论正确的是（????）
A．四棱锥的体积为
B．四棱锥的表面积为
C．在中，当时，
D．四棱锥的外接球表面积为
【变式1】（2024·广西贺州·一模）半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体．它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，这样的半正多面体被称为二十四等边体．如图所示，已知该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其外接球的表面积为（????）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为.
【变式3】（2022·河南·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，，，，E为AD的中点，以BE为折痕将折起，使点A到达点P的位置，连接PD，PC.
(1)证明：平面平面BCDE；
(2)当时，若几何体的顶点均在球O的表面上，求球O的表面积.
题型三截面法
(1)与球截面有关的解题策略
①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的．
(2)正四面体的外接球的半径R＝eq\f(\r(6),4)a，内切球的半径r＝eq\f(\r(6),12)a，其半径之比R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长)．
【例题3】（2024·云南曲靖·模拟预测）正方体外接球的体积为，、、分别为棱的中点，则平面截球的截面面积为（???）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·广东茂名·模拟预测）若正四面体的棱长为，M为棱上的动点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为（????）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·贵州六盘水·三模）已知正四面体的棱长为，以其中一个顶点为球心作半径为3的球，则所得球面与该正四面体表面的交线长之和为．
【变式3】（2023·贵州铜仁·模拟预测）如图，已知在正三棱柱中，，三棱柱外接球半径为，且点分别为棱，的中点．
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(1)过点作三棱柱截面，求截面图形的周长；
(2)求平面与平面的所成角的余弦值．
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（????）
A． B． C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知半径为的球的球心到正四面体的四个面的距离都相等，若正四面体的棱与球的球面有公共点，则正四面体的棱长的取值范围为（?