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培优点09球的切、接问题
（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
球的切、接问题，是历年高考的热点内容，经常以客观题出现．一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题，考查球的体积与表面积，其关键点是确定球心．
【核心题型】
题型一定义法
到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．
【例题1】（2024·福建厦门·模拟预测）已知三棱锥中，平面，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取中点E，根据已知可得E为的外心，过E作底面的垂线，使，可得O为三棱锥外接球的球心，计算球的半径，由球的表面积公式可得结果.
【详解】在中，因为，，，所以，
所以，取中点E，则E为的外心，且外接圆的半径为，
过E作底面的垂线，使，又平面，则O为三棱锥外接球的球心，
所以外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积为，
故选：C.
【变式1】（2024·贵州毕节·三模）在正四棱台中，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，，求得上、下底面所在圆的半径，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，利用球的截面圆的性质，列出方程求得，结合球的体积公式，即可求解.
【详解】设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，连接，，
取，，的中点，连接，
所以，，
所以，
????
所以，
设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，
可得，，故或，
即或，
因为，所以，
对上式两边同时平方可得：
（舍去）或，
解得，符合题意，
所以球的表面积为．
故选：A
【变式2】（2024·陕西西安·一模）一个正四棱柱底面边长为2，高为，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为.
【答案】
【分析】根据题意该几何体为正四棱锥，利用正四棱锥的结构特征，求出内切球半径得解.
【详解】由题意可知该几何体为正四棱锥，如图，为内切球的球心，是棱锥的高，分别是的中点，
连接，是球与侧面的切点，可知在上，，
设内切球半径为，则，，，，由，
，即，解得，
所以内切球表面积为.
故答案为：.
【变式3】（2024·宁夏石嘴山·一模）已知正四棱锥的底面边长为2，高为4，它的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是
【答案】
【分析】正四棱锥的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高线上，求解三角形可得球的半径，可求球的表面积.
【详解】如图，正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记外接球半径为，
，，，底面正方形边长为2，
在中，，可得，解得，
∴球的表面积
故答案为：
题型二补形法
(1)补形法的解题策略
①侧面为直角三角形，或对棱均相等的模型和正四面体，可以还原到正方体或长方体中去求解；②直三棱锥补成三棱柱求解．
(2)正方体与球的切、接问题的常用结论
正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.
(3)若长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)．
【例题2】（2024·天津武清·模拟预测）四棱锥的底面为正方形，，动点在线段上，则下列结论正确的是（????）
A．四棱锥的体积为
B．四棱锥的表面积为
C．在中，当时，
D．四棱锥的外接球表面积为
【答案】C
【分析】对于A：根据锥体体积公式运算求解；对于B：根据表面积公式分析运算求解；对于C：由条件确定点的位置，结合锥体体积公式分析判断；对于D：利用补形法，结合长方体的外接球的求四棱锥的外接球半径，进而可得球的表面积.
【详解】对于选项A：因为，，，平面，
所以平面，可知四棱锥的高，
所以四棱锥的体积，故A错误；
对于选项B：因为平面，平面，则，
且，，平面，
可得平面，且平面，可知，
同理可知：，则，
所以四棱锥的表面积为，故B错误；
对于选项C：因为平面，平面，
所以，所以为直角三角形，
又因为，则，
且，，，可得，
所以，即，可知点到平面的距离为，
所以，故C正确；
对于选项D：将四棱锥补形为长方体，如图所示
可知四棱锥的外接球的半径为，
所以四棱锥的外接球的表面积，故D错误；
故选：C.
【变式1】（2024·广西贺州·一模）半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体．它的各棱长都相等，其中八个