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上海市2024-2025学年高三下学期5月调研数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知全集，，则．
2．若，，则．
3．设为虚数单位，若，则．
4．已知等比数列的首项与公比相等，若，则．
5．函数在处的切线斜率为．
6．设实数，圆:的面积为，则．
7．在的展开式中，二项式系数最大的有且仅有第4项，则正整数．
8．未来工作室加工50000个零件．若这批零件分配到1号车间25000个，2号车间20000个，3号车间5000个，其中1号车间、2号车间、3号车间加工合格率分别为0.95、0.85、0.75，从所有加工后的零件中任取1个零件，则这个零件合格的概率为．
9．在正七棱锥中，直线过A、B、C、D、E、F、G中的两个不同点．当与直线所成角为最小值时，则满足条件的的条数为．
10．设（且，）．若对任意，均成立，则当时，的取值范围为．
11．如图，是未来中学校园内的一方矩形花圃，其四边均镶嵌一汪以各边中点为圆心的喷泉池；早先花圃的对角已建有一径水泥步道．已知花圃长、宽、分别为50米、30米，喷泉池的直径均为15米，步道边缘、各与两汪喷泉池边缘相切．今欲在花圃的对角仿照现存步道铺设另一水泥步道，则最少需使用水泥平方米（精确至0.01，不考虑步道厚度及材料耗损）．
12．已知首项，对任意正整数，存在不超过的正整数，使得，存在满足，则满足要求的正整数的个数为.
二、单选题
13．设，则下列选项中正确的是（????）．
A． B．
C． D．
14．某试验田种植一批水稻，对其进行种植实验．在右表中记录了5组水稻的“播种面积”与“总产量”的相关数据并预测序号6的实验数据，若发现实验序号5的实验数据有误需剔除，则下列说法正确的是（????）．
实验序号
1
2
3
4
5
6
播种面积
（单位：千公顷）
60.9
71.8
72.9
73.6
75.8
80.0
总产量
（单位：万吨）
37.8
37.4
38.9
40.1
37.3
未知
A．实验样本的相关系数将变小． B．实验样本的相关系数将不变．
C．实验序号6的预测结果将变大． D．实验序号6的预测结果将变小．
15．设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（????）．
A． B． C． D．
16．在平面直角坐标系中，记，．设点，点，给出如下结论：
①任意，存在．对任意正整数，为大于零的常数．
②任意，存在．对任意正整数，为大于零的常数．
下列选项中，判断正确的是（????）．
A．命题①成立，命题②成立 B．命题①成立，命题②不成立
C．命题①不成立，命题②成立 D．命题①不成立，命题②不成立
三、解答题
17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，是棱的中点，平面．
(1)求证：；
(2)若，求直线与平面所成角的大小．
18．设，.已知函数的定义域为，且．
(1)若函数是偶函数，求的值；
(2)设，若对任意的，均有，求的取值范围．
19．某市眼病疾控中心计划对24000名不同年龄的市民进行视力调查，调查所得到的年龄与视力情况如下表所示．
视力情况
年龄范围
视力正常
840
456
1116
2460
1752
视力不正常
6096
960
1920
3840
4560
(1)从中随机抽取一名市民，求所抽取的市民，在“视力正常”的条件下，年龄范围在的概率；
(2)设随机变量为“任取一名市民的视力情况”（若视力正常，则记；若不正常，则记），求的分布与期望；
(3)通过分层抽样抽取2000人．请利用抽样后的样本数据填写下列2×2列联表，并判断该市视力情况是否与年龄有关联？
视力正常
视力不正常
合计
年龄不低于60岁
a
b
a+b
年龄低于60岁
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
a+b+c+d
附：，其中．
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，是第一象限上一点，直线与轴交于点，设点的坐标为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设.若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离；
(3)设直线与的另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围．
21．对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义．
(1