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四川省成都石室中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知为虚数单位，复数满足，则（????）
A． B．1 C． D．
2．已知不重合的直线m、n、l和平面，下列命题中真命题是（???）
A．如果l不平行于，则内的所有直线均与l异面
B．如果，，m、n是异面直线，那么n与相交
C．如果，，m、n共面，那么
D．如果，那么m平行于经过n的任何平面
3．如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（????）
A． B． C． D．
4．“，点在第二象限”的一个充分不必要条件是（????）.
A． B．
C． D．
5．学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则青城山的山高为（????）
A． B．
C． D．
6．已知实数满足，则的最大值为（????）
A．15 B．17 C．19 D．21
7．中，，点在线段上，且，则面积最大值为（????）
A． B． C． D．
8．如图，在棱长为6正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，点为棱上靠近点的三等分点，则经过三点的平面截该正方体所得截面的形状和与侧面的交线长度分别为（????）
A．五边形， B．六边形，
C．五边形， D．六边形，
二、多选题
9．已知向量，（????）
A．若，则
B．若，则
C．若取得最大值，则
D．若，则在上的投影向量为
10．已知复数，则下列说法中不正确的是（????）
A．若，则
B．若，则
C．，则
D．是的充分不必要条件
11．已知函数，其中，则下列说法中正确的有（????）
A．的最小值为
B．的最大值为
C．方程在上有三个解
D．在上单调递减
三、填空题
12．三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，其外接球的表面积为.
13．已知向量的模长分别为，且，则的最大值为.
14．在中，若，则的最小值为.
四、解答题
15．如图，在直三棱柱中，，分别为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
16．设△ABC是边长为3的正三角形，点、三等分线段（如图所示）.
(1)求的值；
(2)在线段的何处时，取得最小值，并求出此最小值.
17．在中，角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
18．定义向量的“相关函数”为；函数的“相关向量”为.
(1)求函数的“相关向量”的模长；
(2)在中，角的对边分别为，若函数的“相关向量”为，且已知.
①求周长的最大值；
②求的取值范围.
19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求角A；
(2)已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记.
①当时，设的面积为S，求S的最小值：
②记，.问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由.
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《四川省成都石室中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
B
A
C
B
B
AD
ABD
题号
11
答案
ABC
1．D
【分析】利用复数的除法运算先求复数，再求复数的模即可.
【详解】由题意有，
所以.
故选：D.
2．C
【分析】根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案.
【详解】对于A，当l与相交与点时，在平面内，过点的直线与l都是共面的，故A错误；
对于B，如图1，可能是，故B错误；
??
对于C，设m、n共面于平面，由，可得,
由，则根据线面平行的性质可得，故C正确；
对于D，若，则m平行于经过n的任何平面或m在经过n的平面内，故D错误．
故选：C.
3．D
【分析】取，作为基底，把用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出.
【详解】取，作为基底，因为是中点，则.
因为，所以，
所以.
故选：D.
4．B
【分析】根据题意先求满足点在第二象限的范围，在根据充分不必要条件即可求解.
【详解】由题意有或，
所以“，点在第二象限”的一个充分不必要条件是.
故选：B.
5．A
【分析】求出各个角的度数，