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浙江省北斗星盟2024-2025学年高二下学期阶段性联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（????）
A．2 B．3 C．5 D．2或3
2．定义集合的“对称差集”:且.已知集合，下列结论正确的是（????）
A． B． C． D．若，则
3．命题p：函数的图象关于直线对称；命题，则p是q的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知m，n为空间中不重合的直线，为不重合的平面，下列命题正确的是（????）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（????）
A． B． C． D．
6．在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，且.设，则下列结论正确的是（????）
A． B． C． D．
7．杭州“六小龙”企业(宇树科技、深度求索、游戏科学、群核科技、强脑科技、云深处科技)在科技领域大放异彩.现从这6家企业中选出4家，分别派往A、B、C、D四个不同的科技交流活动进行成果展示，且必须同时满足条件：①宇树科技和深度求索中至少有一家被选中；②若宇树科技被选中，则必须去A活动，若深度求索被选中，则不能去D活动.则不同的安排方式种数是（????）
A．96 B．120 C．240 D．336
8．已知连续型随机变量ξ服从正态分布，记函数，则f(x)的图象（????）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称
二、多选题
9．已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，则下列说法正确的是（????）
A． B． C． D．
10．已知、是曲线上的两个动点，则（????）
A．曲线是中心对称图形
B．曲线有且只有两条渐近线
C．若、分别在第二象限和第四象限，则的最小值为
D．曲线和圆恰好有个公共点
11．甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为，乙胜的概率为.用表示“在甲所得筹码为枚时，最终甲获胜的概率”，则（????）
A．第一局比赛后甲的筹码个数记为，则期望
B．四局比赛后，比赛结束的概率为
C．
D．
三、填空题
12．若，则.
13．的展开式中的系数为.
14．已知不等式对任意实数都成立，则实数的值为.
四、解答题
15．某社区卫生服务中心为分析居民的健康状况，对辖区内200位居民进行了抽样调查.
(1)从200位居民中随机抽取5名，记录其每周运动时间x(小时)与健康指数y，数据见表1.求运动时间与健康指数的一元线性回归方程，并计算运动时间为7小时的居民健康指数的残差.
运动时间x
3
4
5
6
7
健康指数y
60
70
85
95
90
表一
(2)为研究性别与是否患有慢性病的关系，统计得到200位居民的数据如表2所示.根据小概率值(表3)的独立性检验，推断性别与是否患有慢性病是否有关联.
性别
患有慢性病
未患慢性病
合计
男性
30
70
100
女性
20
80
100
合计
50
150
200
表二
α
0.1
0.05
0.01
0.005
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
表三
附：
16．在中,，,将绕着CD旋转得到三棱锥
(1)求三棱锥体积的最大值.
(2)若平面平面，求平面与平面BCD夹角的余弦值.
17．已知是函数图象上的点.
(1)当时，求函数f(x)在点)处的切线方程.
(2)若，点P处的切线l与曲线有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围.
18．设A，B两点的坐标分别为，，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为，设点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的标准方程；
(2)若直线l过点，与曲线E交于C，D两点，C在x轴上方，直线AC，BD交于点M，直线AD，BC交于点N.??记A，B到直线l的距离分别为??
（i）证明：；（ii）求的面积最小值.
19．已知n行n列()的数表中，对任意的，，都有.若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记.
(1)若数表，，请判断B，C是否为典型表，并说明理由；
(2)当时，