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浙江省强基联盟2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（????）
A． B． C． D．
2．已知复数，则复数的虚部为（???）
A． B． C． D．
3．化简所得的结果是（????）
A． B． C． D．
4．函数的大致图象是（????）
A． B．
C． D．
5．已知，，则（????）
A． B． C． D．
6．如图，在海面上有两个观测点B，D相距，点D在B的正南方向，某天观察到某航船在点B西南方向的C处，距离点D也为，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，则该船行驶的距离（????）
A． B． C． D．
7．圆台的上下底面半径分别为、，、为圆台的两条母线，且，则四边形的面积的最大值为（????）
A． B． C． D．
8．已知函数有且仅有两个零点，则a的取值范围为（????）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．若实数a，b，c满足，则下列不等式成立的有（????）
A． B． C． D．
10．已知函数，则下列正确的是（????）
A．的最大值是
B．若是偶函数，则
C．在上单调递增
D．若在区间上恰有2个零点，则
11．已知平面向量，满足为单位向量，，则（????）
A．
B．的最小值为
C．在方向上的投影长度的范围为
D．若，则的最大值为
三、填空题
12．若，则的最大值为．
13．在中，若，且，则的周长为．
14．已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且．，，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为．
四、解答题
15．已知平面向量，.
(1)当实数m为何值时，与垂直；
(2)若与所成的角为锐角，求实数k的取值范围.
16．如图，在四面体中，平面平面，且，，M是的中点，P是的中点，Q在线段上，且．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．已知函数是偶函数．
(1)求的值；
(2)若对任意，恒成立，求的取值范围．
18．在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
(1)求角．
(2)为边上一点，且．
①若，求当取最小值时的值；
②若为角平分线，求的取值范围．
19．已知每个正整数n都可以唯一写成一些不同的“2的幂”的和．例如：；，定义：若n的这种表示中用了偶数个“2的幂”，则，否则．记．
(1)求，的值；
(2)若，求n的取值；
(3)是否存在正整数m，使得对于任意正整数n，均有，并证明你的结论．
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《浙江省强基联盟2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
B
B
A
C
A
BCD
AD
题号
11
答案
ACD
1．C
【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，，故.
故选：C.
2．A
【分析】先化简复数,再根据虚部定义得结果.
【详解】因为,所以复数的虚部为，选A.
【点睛】本题考查复数除法运算以及虚部定义，考查基本求解能力，属基础题.
3．C
【分析】根据向量加，减法运算，即可化简.
【详解】.
故选：C
4．B
【分析】利用函数性质和排除法排除不符合选项即可得解.
【详解】因为，
所以定义域为关于原点对称，且，
所以为奇函数，排除A，C；
当时，，故，排除D.
故选：B．
5．B
【分析】根据题意，利用两角差的正切公式，准确计算，即可求解.
【详解】因为，，
可得.
故选：B．
6．A
【分析】由正弦定理求解即可.
【详解】由题意得为直角，故，
又，所以四点共圆，所以，
在中由正弦定理得，
所以，
故选：A．
7．C
【分析】延长、交于点，求出将圆台补成的圆锥的母线长，结合余弦定理可知，圆锥轴截面的顶角为钝角，可知当时，取最大值，再由可求得结果.
【详解】延长、交于点，将圆台补成的圆锥的母线长为，
则，解得，
则，故，
设轴截面的顶角为，由余弦定理可得，
故为钝角，则，
故当时，取最大值，且其最大值为，
因此，梯形面积的最大值为，
故选：C．
8．A
【分析】令，得到，根据题意，转化为与的图象仅有两个交点，画出同一坐标系内作出两个函数的图象，结合斜率公式和直线与抛物线的位置关系，即可求解.
【详解】由函数，
令，