微积分基础试题
一、选择题（每题5分，共20分）
函数f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}的定义域是（）
A.x\gt-2
B.x\geq-2且x\neq1
C.x\gt-2且x\neq1
D.x\geq-2
当x\to0时，下列哪个函数与x是等价无穷小量（）
A.\sinx
B.x^2
C.1-\cosx
D.\ln(1+2x)
函数f(x)=x^3-3x的导数f^\prime(x)为（）
A.3x^2-3
B.3x^2
C.x^2-3
D.x^2
不定积分\int\cosxdx的值为（）
A.\sinx+C
B.-\sinx+C
C.\cosx+C
D.-\cosx+C
二、填空题（每题5分，共20分）
\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=______
函数f(x)=e^{2x}的导数f^\prime(x)=______
微分d(x^2+3x)=______
定积分\int_{0}^{\pi}\sinxdx=______
三、解答题（每题15分，共60分）
求函数f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}当x\to1时的极限。
求函数y=\sin(2x+1)的导数。
计算不定积分\int(x^2+2x+1)dx。
求由曲线y=x^2，直线x=1，x=2及x轴所围成的图形的面积。
微积分基础试题答案
一、选择题
B
A
A
A
二、填空题
e
2e^{2x}
(2x+3)dx
2
三、解答题
解：\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2
解：令u=2x+1，则y=\sinu，根据复合函数求导法则，y^\prime=\cosu\cdotu^\prime=\cos(2x+1)\cdot2=2\cos(2x+1)
解：\int(x^2+2x+1)dx=\intx^2dx+\int2xdx+\int1dx=\frac{1}{3}x^3+x^2+x+C
解：所求面积S=\int_{1}^{2}x^2dx=\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{1}^{2}=\frac{1}{3}\times2^3-\frac{1}{3}\times1^3=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}