课外拓展系列一元二次方程初一数学课外拓展系列一元二次方程初一数学课外拓展系列一元二次方程初一数学判定式1、判定式定理：对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0），设△=b2-4ac，则有：1）若△0，则方程有两个不等实根；2）若△=0，则方程有两个相等实根；3）若△0，则方程无实数根。备注：判定式定理只适用于一元二次方程，若涉及方程ax2+bx+c=0有没有实根的问题，还应该对a进行讨论。
判定式1、判定式定理：对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0），设△=b2-4ac，则有：1）若△0，则方程有两个不等实根；2）若△=0，则方程有两个相等实根；3）若△0，则方程无实数根。备注：判定式定理只适用于一元二次方程，若涉及方程ax2+bx+c=0有没有实根的问题，还应该对a进行讨论。
韦达定理2、韦达定理：设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的两根，则有x1+x2=-，x1x2=，逆命题也成立。灵活运用一元二次方程以下两条性质，可以简捷地解决一类与根有关的求值问题：1）设α为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的一个根，aα2+bα+c=0，反之亦然。2）设α、β（α≥β）是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且△=b2-4ac≥0）的两根，则有反之亦然。
韦达定理3、对有理系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）有:1）方程两根为有理数，则b2-4ac为完全平方数；2）方程有一根为有理数，则另一根也是有理数。4、对整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）有:1）方程两根为整数，则b2-4ac为完全平方数，且a|b，a|c；2）方程两根为整数，则b2-4ac为完全平方数，且2a|（）
拓展训练—案例题例1：用适当的方法解下列方程：1）10x2-x-3=02)6x+15=3x23)y2-7/4=3y【分析】以上一元二次方程都能用公式法进行求解，但必须通过观察分析，用更简便的方法来求解。1）可以用十字相乘法，把方程化为（2x+1）（5x-3）=0，则可知方程的解为x1=1/2，x2=3/52）方程经过整理，可简化为：x2-2x-5=0，即（x-1）2=6则方程的解为：x1=1-，x2=1+3）去分母后，方程可化为：4y2-12y-7=0，本题可以用十字相乘法，把方程化为（2y-7）（2y+1）=0。采用公式法：△=（-12）2-4×4×（-7）=256，则x=
拓展训练—案例题例2：解关于x的方程：x2+x-2+k（x2+2x）=0【分析】这题有两层含义：1、二次项系数含有字母；2、这是一个关于x的方程，而不是一元二次方程。因此，需要对二次项系数进行讨论。解：整理方程，得：（k+1）x2+（2k+1）-2=0当k=-1时，原方程为：-x-2=0，即x=-2当k≠-1时，原方程为一元二次方程△=(k+1)2+8(k+1)=(2k+3)2∴原方程的解为：x=即：x1=-2，x2=
拓展训练—案例题例3：设α是方程x2+x-=0，求的值。【分析】普通的做法，先求出方程的解，再代入分式求值。但分析方程与多项式，可以利用性质1）进行变形求值。方程变形可得：x2+x=，即a2+a=a3-1=（a-1）（a2+a+1），a5+a4-a3-a2=(a-1)(a2+a)2原式=
拓展训练—案例题例4：已知关于x的方程k2x2+（2k-1）x+1=0有两个不相等的实根x1、x2，1）求k的取值范围；2）是否存在实数k，使方程的两个实数跟互为相反数？如果存在，求出k值；如不存在，请说明理由。【分析】方程有两个不相等的实数根，则△0。两实数根互为相反数，即：x1+x2=-b/a=0。解：1）由题意得：△=（2k-1）2-4k2＞0解得：k1/4∴当k1/4时，方程有两个不相等的实根。