2025年南开大学数学省身班选拔考试

时间：2025年8月25日14：30-16：10满分：100分

1.已知函数，求出使下面三个条件成立所有．

①当时，；

②的最大值为444．

③最小值为364．

2.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝·an(n∈N*).

（1）证明：数列是等比数列，并求数列{an}通项公式；

（2）设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn＜2.

3.已知椭圆，是椭圆的左右焦点，为椭圆上的一点.以为圆心，半径为2的圆与轴相切于，并与轴交于两点，为等边三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知圆，为圆上一点，过点的切线交椭圆于两点，请问是否为定值，