高等数学期末考试题
考试时间：120分钟满分：100分
一、选择题（每题5分，共15分）
下列极限中，值为\frac{1}{6}的是（）
A.\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}B.\lim\limits_{x\to0}\frac{x-\sinx}{x^3}C.\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^xD.\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}
函数f(x)=x^3-3x+1的单调递增区间是（）
A.(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)B.(-1,1)C.(-\infty,-1)D.(1,+\infty)
设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论正确的是（）
A.存在\xi\in(a,b)，使得f(\xi)=0B.f(x)在[a,b]上恒为常数
C.f(x)在[a,b]上单调递增D.f(x)在[a,b]上单调递减
二、填空题（每题5分，共15分）
设函数y=y(x)由方程x^2+xy+y^2=3确定，则\frac{dy}{dx}\big|_{(1,1)}=______。
不定积分\intxe^{x^2}dx=______。
二重积分\iint_D(x+y)d\sigma，其中D=\{(x,y)\mid0\leqx\leq1,0\leqy\leq1\}，则该二重积分的值为______。
三、解答题（每题10分，共40分）
计算极限\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^2+\lnx}{x\lnx}。
设函数y=f(x)由参数方程\begin{cases}x=t^2\\y=t^3\end{cases}（t为参数）确定，求\frac{dy}{dx}和\frac{d^2y}{dx^2}，并求曲线在t=1处的切线方程。
计算定积分\int_0^{\pi}x\sinxdx。
求由曲线y=x^2与y=\sqrt{x}所围成的平面图形的面积。
四、证明题（每题15分，共30分）
证明：当x0时，1+\frac{1}{2}x\sqrt{1+x}。
设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：存在\xi\in(0,1)，使得f(\xi)=2\xi。
高等数学期末考试题答案
一、选择题（每题5分，共15分）
答案：B
解析：
选项A：\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1，不符合；
选项B：由等价无穷小替换，当x\to0时，\sinx\simx-\frac{1}{6}x^3，则\lim\limits_{x\to0}\frac{x-\sinx}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{6}x^3}{x^3}=\frac{1}{6}，符合；
选项C：\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e，不符合；
选项D：\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2，不符合。
答案：A
解析：对f(x)=x^3-3x+1求导得f(x)=3x^2-3，令f(x)0，即3x^2-30，解得x-1或x1，所以函数的单调递增区间是(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)。
答案：A
解析：由罗尔中值定理可知，若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在\xi\in(a,b)，使得f(\xi)=0，选项A正确；选项B、C、D均不一定成立。
二、填空题（每题5分，共15分）
答案：-1
解析：对x^2+xy+y^2=3两边同时对x求导，得2x+y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0，将(1,1)代入得2+1+\frac{dy}{dx}+2\frac{dy}{dx}=0，解得\frac{dy}{dx}=-1。
答案