z平面上单位圆内(x2+y2＜1)对应着w平面实部为负数的左半平面。z平面上单位圆外(x2+y2＞1)对应着w平面实部为正数的右半平面。z平面与w平面的映射关系所示。第62页，共95页，星期日，2025年，2月5日【例】设采样控制系统的方框图如图所示。采样周期T=1s,T=0.5s试求使系统稳定的K值范围。解系统的开环脉冲传递函数为相应的闭环系统特征方程为第63页，共95页，星期日，2025年，2月5日将T=1s代入上式，得进行w变换可求得w域系统的特征方程为根据代数判据，闭环系统稳定条件为所以稳定时K的取值为第64页，共95页，星期日，2025年，2月5日同理可得T=1s时稳定时K的取值为稳定时K的取值为同理可得,T=0.5s时开环增益K和采样周期T对采样系统稳定性有如下影响：(1)采样周期T一定时，增加开环增益K会使采样系统稳定性变差，甚至使系统不稳定。(2)开环增益K一定时,采样周期T越长，丢失的信息越多，对采样系统稳定性及动态性能均不利，甚至使系统不稳定。第65页，共95页，星期日，2025年，2月5日2、闭环脉冲传递函数零、极点分布与暂态响应的一般关系1）系统的单位阶跃响应设闭环采样系统的脉冲传递函数为式中M(Z)、D(Z)——闭环脉冲传递函数分子多项式和分母多项式设?i——闭环极点zj——闭环零点第66页，共95页，星期日，2025年，2月5日当输入为单位阶跃信号时系统输出信号的z变换为将上式展成部分分式可得式中：第67页，共95页，星期日，2025年，2月5日2、Z变换基本定理1.线性定理若?i为常数，则线性定理表明,时域函数线性组合的z变换等于各时域函数z变换的线性组合。设有连续时间函数第30页，共95页，星期日，2025年，2月5日2.滞后定理设e(t)的z变换为E（z），且t＜0时，e(t)=0,则滞后定理说明，原函数在时域中延迟k个采样周期求z变换,相当于它的z变换乘以z-k。因此z-k可以表示时域中的滞后环节,它把采样信号延迟k个采样周期第31页，共95页，星期日，2025年，2月5日3.超前定理4.初值定理设函数e(t)的z变换为E(z)，则设e(t)的z变换为E(z)，而且存在，则第32页，共95页，星期日，2025年，2月5日5.终值定理6.复数位移定理设函数e(t)的z变换为E(z)，且在z平面上的以原点为圆心的单位圆上和圆外均没有极点，则设函数e(t)的z变换为E(z)，则第33页，共95页，星期日，2025年，2月5日3、Z反变换由E(z)求e*(t)过程称为z反变换，表示为由于z变换只表征连续函数在采样时刻的特性,并不反映采样时刻之间的特性,因此z反变换只能求出采样函数e*(t),不能求出其连续函数e(t)。即有第34页，共95页，星期日，2025年，2月5日常用的Z反变换方法1、长除法将E(z)的分子、分母多项式按z的降幂形式排列,用分子多项式除以分母多项式,可得到E(z)关于z-1的无穷级数形式,在根据延迟定理得到e*(t)。对上式求z反变换,得第35页，共95页，星期日，2025年，2月5日2、部分分式法将E(z)/z展开成部分分式。由于在E(z)式中,分子表达式中通常含有z。得到部分分式后,再将z乘到各部分分式的分子部分,再查表进行反变换即可,所以也称为查表法。第36页，共95页，星期日，2025年，2月5日【例3】求的z反变换。解将E(z)/z展开成部分分式为则对应的时间函数e*(t)为则有第37页，共95页，星期日，2025年，2月5日3.留数法由z变换的定义有用zm-1乘上式两端,得根据复变函数理论,知第38页，共95页，星期日，2025年，2月5日当z=pi为单极点时，其留数为当z=pj为n重极点时，其留数为第39页，共95页，星期日，2025年，2月5日4差分方程描述n阶线性连续系统的数学模型为微分方程，而描述线性采样系统的教学模型为差分方程。差分的定义：一阶前向差分定义为二阶前向差分定义为第40页，共95页，星期日，2025年，2月5日一阶后向差分定义为：二阶后向差分定义为：前向和后向差分示意图第41页，共95页，星期日，2025年，2月5日【例】一阶采样系统的差分方程为