伯努利与琴生不等式

【典例1】（2024·山东潍坊·三模）一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰?伯努利等得到“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.

(1)类比三角函数的三个性质：

①倍角公式；

②平方关系；

③求导公式

写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；

(2)当时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数的取值范围；

(3)若，证明：

【解析】（1）平方关系：；（关注微信公众号：Hi数学派）

倍角公式