更多模考中的极值点充分条件题

【典例1】（2024·上海普陀·一模）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．（关注微信公众号：Hi数学派）

①在上的导数存在；

②在上的导数存在，且（其中）恒成立．

(1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．

(2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．

【解析】（1）令，，

则，，

，，

当时，恒成立，

∴函数在区间上具有性质；

（2）∵，

∴，

∵在处取得极值，且为奇函数，

∴在处也取得极值，

∴，解得，

∴，，