第三十讲数列型求和不等式证明

知识与方法

以证明不等式为例，其中，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，即

这样一来，设，

则只需证，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出恒成立，则原不等式也就成立.

典型例题

【例题】已知函数的图象在点处的切线方程为.

（1）用a表示出b和c；

（2）若在上恒成立，求a的取值范围；

（3）证明：.

【解析】（1）由题意，，且，所以，.

（2）由题意，，

令，则恒成立，且，

若，则，所以恒成立，故在上单调递增，

又，所以恒成立，满足题意；

若，则，所以，，

从而在上单调递减，在上单调递增