第十八讲三次函数的切线条数

知识与方法

研究过点可以作出三次函数图象的几条切线，本质上是研究方程根的个数，可以设切点为，则切线方程为，将点P的坐标代入切线方程可得，这一关于的方程有几个实数解，过点P就可以作出函数图象的几条切线，这一问题的结论如下图所示：

典型例题

【例题】已知函数．

（1）若是的极大值点，求a的值；

（2）若过点可以作曲线的三条切线，求a的取值范围．

【解析】（1），由解得或，

当时，，由得或，

由得，即在，上单调递增，在上单调递减，

则函数在处取得极小值，不符合题意，舍去，

当时，，由得或，

由得，即函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，

所以.

（2）设