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第12讲：函数的凸凹性及应用

函数凸凹性虽不是高中数学的正式课程，但它出现在教材的课后习题中，而且在高考试题中常见其身影.另一方面，由于具有凸凹性的函数具有很多良好的性质，这些性质可以命制很多有趣的恒成立问题，双零点问题，于是，函数凸凹性颇受命题人的喜爱.本节，我们就通过一些高考试题来展示函数凸凹性在函数试题命制中的常见手法.

一．基本命题原理

1．定义

若函数在区间上有定义，若，则称为区间上的凸函数.反之，称为区间上的凹函数

2．常用性质

2.1.

在上为凸函数.

反之，.

注：上述不等式也称为詹森不等式.特别地，若只取，则有：

凸函数自变量的平均数的函数值不大于函数值的平均