p元随机向量协方差阵的定义一个P元随机向量自己的方差或协差阵的定义，可用D(X)或Σ表示。两个p元随机向量与的协差阵的定义。参见教材P13。*第29页，共68页，星期日，2025年，2月5日综上，可以对一元与多元在概率分布、数字特征等方面进行简单的对比学习，这样容易清楚二者的区别与联系。请仔细阅读指导书上的第一部分内容中的两张对比的比较表．*第30页，共68页，星期日，2025年，2月5日一个简单对比一元分布情形多元分布情形概率分布名称随机变量p元随机向量分布名称概率分布联合概率分布数字特征期望均值是数μ均值向量是向量方差方差是一个非负数σ2协方差矩阵Σ*第31页，共68页，星期日，2025年，2月5日多元正态分布在多元统计分析中的重要地位，就如同一元统计分析中一元正态分布所占重要地位一样，多元统计分析中的许多重要理论和方法都是直接或间接建立在正态分布的基础上。原因是:(1)许多实际问题研究中的随机向量确实遵从正态分布，或者近似遵从正态分布；(2)对于多元正态分布，已经有一套统计推断方法，并且得到了许多完整的结果。多元正态分布是最常用的一种多元概率分布，下一节就是多元正态分布的定义。*第32页，共68页，星期日，2025年，2月5日§2.3多元正态分布定义及基本性质在多元分布中，最常见也是最重要的分布就是正态分布。定义：若p维随机向量的联合概率密度为其中，x和μ都是p维向量，Σ是p阶正定阵，则称随机向量服从p元正态分布，或称p维正态随机向量，简记为X～Np（μ，Σ）*第33页，共68页，星期日，2025年，2月5日具体而言,其中的的具体形式为而符号表示该随机向量的协方差矩阵的行列式，它是个非负数值。由此说明Σ是非负定的。*第34页，共68页，星期日，2025年，2月5日多元正态分布的性质显然，当p=1时，就是一元正态分布的密度函数；当p=2时，即为二元正态分布。可以证明：（1）μ恰好是X的均值向量；（2）Σ恰好是X的协方差矩阵。*第35页，共68页，星期日，2025年，2月5日P元正态分布的性质：（1）若～Np（μ，Σ）则任一分量的边沿(边缘)分布也一定是正态分布。并且，当协差阵Σ是对角形矩阵时，则分量是相互独立的。（2）正态随机向量的线性组合仍然服从正态分布（详见教材P20）.*第36页，共68页，星期日，2025年，2月5日在研究社会、经济现象和许多实际问题时，经常遇到多指标的问题。例如，评价学生在校表现时，要考察他的政治思想（德）、学习情况（智）、身体状况（体）等各个方面的情况，仅学习情况就又涉及他在各个年度的每门课程成绩，这里面就有多项指标存在。§2.4多元统计中的基本概念*第37页，共68页，星期日，2025年，2月5日再例如，研究公司的经营情况，就要考察资金周转能力、偿债能力、获利能力、竞争力等多个指标。显然不能将这些指标分割开来进行单独研究，那样就不能从整体上综合把握事物的实质。一般地，假设我们研究的问题涉及p个指标，对n个个体进行观察，就会得到n×p个数据，我们的目的就是对观测对象进行分组、分类、或分析考察这p个变量之间的相互关联程度，或者找出内在规律性等等。*第38页，共68页，星期日，2025年，2月5日1.多元样本的概念及其表示法我们要研究的对象是多个变量的总体，即研究总体的概率分布，特别是关注其数字特征是什么？采用的研究方法是统计推断方法。通过从总体中随机抽取一个样本的手段，然后对样本的概率分布（即抽样分布）进行研究，来推断（inference）未知分布的总体的概率分布。*第39页，共68页，星期日，2025年，2月5日观测数据的表示因而所得到的数据是，同时对某n个个体观测了p项指标（或变量）后得到的n×p