第三节三重积分在球坐标系下的计算第1页，共25页，星期日，2025年，2月5日0xzyM(r,?,?)r??Nyxz.一、球面坐标系..第2页，共25页，星期日，2025年，2月5日SrM?yzx0r=常数:?=常数:球面S动点M(r,?,?)球面坐标的坐标面第3页，共25页，星期日，2025年，2月5日?Cr=常数:?=常数:S球面S半平面P动点M(r,?,?)M?yzx0?P?=常数:锥面C.球面坐标的坐标面第4页，共25页，星期日，2025年，2月5日r??drd?rsin?xzy0圆锥面?rd?球面r圆锥面?+d?球面r+dr元素区域由六个坐标面围成：d?rsin?d?16.球面坐标下的体积元素半平面?及?+d?；半径为r及r+dr的球面；圆锥面?及?+d?第5页，共25页，星期日，2025年，2月5日r??drd?xzy0d?rd?元素区域由六个坐标面围成：rsin?d?16.球面坐标下的体积元素.半平面?及?+d?；半径为r及r+dr的球面；圆锥面?及?+d?r2sin?drd?d?sin?drd?d?r2rcos?)第6页，共25页，星期日，2025年，2月5日把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式第7页，共25页，星期日，2025年，2月5日二、典型例题适用范围1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离第8页，共25页，星期日，2025年，2月5日0xzyrR对r:从0?R积分,得半径任取球体内一点1第9页，共25页，星期日，2025年，2月5日0xzyMr?R对r:从0?R积分,得半径任取球体内一点对?:从0?积分，.1第10页，共25页，星期日，2025年，2月5日对r:从0?R积分,得半径任取球体内一点对?:从0?积分，?R对?:从0?积分，得球体?.10xzy得锥面第11页，共25页，星期日，2025年，2月5日0xzyR?.对r:从0?R积分,得半径任取球体内一点对?:从0?积分，对?:从0?积分，得球体0得锥面I=V当f=1,.1第12页，共25页，星期日，2025年，2月5日球系下确定积分限练习1?为全球体2?为空心球体3?为上半球体4?为右半球体5?为球体的第一、二卦限部分......2第13页，共25页，星期日，2025年，2月5日z0xya化为球系下的方程r=2acos?.M.r??3P164.10.(2)第14页，共25页，星期日，2025年，2月5日例4:解1:第15页，共25页，星期日，2025年，2月5日解2在柱面坐标系中计算第16页，共25页，星期日，2025年，2月5日例5.计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体.其中?与球面机动目录上页下页返回结束P165.10.(1)第17页，共25页，星期日，2025年，2月5日例6.计算解:?的表达式中含x2+y2+z2,可用球面坐标求积分.x=rsin?cos?,y=rsin?sin?,z=rcos?.且两球面方程分别为r=b和r=a,(ab).0ar=azyxbr=bP165.11,(4)第18页，共25页，星期日，2025年，2月5日