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安徽省鼎尖名校2024-2025学年高一下学期5月阶段性考试数学试题A卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数满足(为虚数单位)，则（????）
A． B． C． D．
2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则中最大角为（????）
A． B． C． D．
3．下列说法错误的是（????）
A．垂直于同一个平面的两条直线平行
B．经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
C．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（????）
A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
5．已知向量，则向量在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
6．已知一组数据：2，5，7，，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（????）
A．7 B．6.5 C．6 D．5.5
7．如图，已知四面体中，二面角的大小为且为正三角形，.若都在同一球面上，则该球的表面积为（????）
A．60π B．240π C．61π D．244π
8．已知正三棱锥中，，为底面正三角形的中心，以为球心，半径作一个球，则球面与正三棱锥的表面相交的所有交线的总长为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设为复数，且不为0，为虚数单位，则下列说法正确的是（????）
A． B．若，则
C．若，则 D．
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（????）
A．
B．若，则的外接圆半径为
C．若且有一解，则b的取值范围为
D．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为
11．如图，在正三棱柱中，点为的中点，点在棱上，则下列说法正确的是（????）
A．
B．当点为的中点时，点为上底面内的动点(包括边界)，若平面，则点的轨迹长度为
C．当点为靠近的四等分点时，与夹角的余弦值为
D．当点为的中点时，将线段绕旋转90°到，则在旋转过程中(包含与)与平面所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题
12．已知样本的平均数为7，方差为7；样本的平均数为15，方差为15．则新样本的方差为．
13．高中某DIY社团一学生想把实心的圆锥木块改造成一个正四棱柱木块，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，底面在圆锥的底面内.已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为cm，则该正四棱柱侧面积的最大值为cm2.
14．已知，，设与的夹角为θ，则的最大值为.
四、解答题
15．某学校高一年级开展了数学竞赛考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），其中第二组的频数是第一组频数的2倍．
(1)求的值，以及这次竞赛成绩的中位数；
(2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10名学生分数的平均数，方差，若剔除其中的70和90两个分数，求剩余8名学生分数的平均数与方差．
16．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，平面，Q为棱的中点.
(1)求证:
(2)求点P到平面的距离;
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
17．在中，角的对边分别为且的面积为
(1)求;
(2)若内角的角平分线交于点，求的最大值.
18．如图，直角梯形中，，，，，等腰直角三角形中，，且平面平面，平面与平面交于.
(1)求证：；
(2)若，求二面角的余弦值.
19．某高一学生在周末发展数学兴趣，研究平面向量和解三角形的相关内容时，学习了以下定理，尝试解决一些问题.
塞瓦定理：如图1，设P为△ABC三边所在直线外任一点，直线AP，BP，CP分别交对边所在直线于点D，E，F，则.
塞瓦定理逆定理：如图1，在△ABC的三边所在直线BC，CA，AB上分别各取一点D，E，F，若有,则AD，BE，CF三线共点.
角元塞瓦定理：如图1，设P为△ABC三边所在直线外任一点，直线AP，BP，CP分别交对边所在直线于点D，E，F，则.
角元塞瓦定理逆定理：如图1，在△ABC的三边所在直线BC，CA，AB上分别各取一点D，E，F，若有则,则AD，BE，CF三线共点.
(1)如图1，在△ABC中，直线AP，BP，CP分别交对边所在直线于点D，E，F，其中F，D满足