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北京市育才学校2024-2025学年高二下学期6月月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则（???）
A． B． C． D．
2．数列满足且，则的值是（????）
A． B．4 C．1 D．
3．某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为.则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为（????）
A． B． C． D．
4．在等比数列中，已知，，则的值为（????）
A． B．4 C． D．
5．某次考试学生甲还有四道单选题不会做，假设每道题选对的概率均为，则四道题中恰好做对2道的概率是（????）
A． B． C． D．
6．数列的通项公式为，当达到最小时，n等于（????）
A．27 B．26 C．25 D．24
7．函数的示意图是
A． B．
C． D．
8．若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（????）
A． B． C． D．
9．数列的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，则在图中位于（????）
A．第31行第38列 B．第31行第39列
C．第32行第38列 D．第32行第39列
10．已知函数存在零点a，函数存在零点b，且，则实数m的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若，则.
12．等差数列－2，1，4，……的前10项和为.
13．若函数在处的切线与直线平行，则．
14．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是．
三、多选题
15．已知函数，则下列结论中正确的是（????）
A．当时，是上的增函数
B．当时，直线与的图象没有公共点
C．当时，的单调递减区间为
D．当有一个极值点为时，的极大值为
四、解答题
16．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，求函数的最值和最值点.
17．已知在等差数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若是等比数列，且，，求数列的前n项和．
18．已知函数.
(1)当时，求曲线的在点处的切线方程；
(2)若函数在定义域上恰有一个零点，求a的取值范围.
19．某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测，检测结果如下表：
产品等级
一等品
二等品
三等品
样本数量（件）
50
30
20
(1)若从流水线上随机抽取2件产品，估计2件产品中恰有1件一等品、1件二等品的概率；
(2)若从流水线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中一等品的件数，为这3件产品的利润总额．
①求X的分布列；
②直接写出Y的数学期望．
20．已知函数．
(1)证明：在上单调递减；
(2)若函数（为的导函数），且单调递增，求实数a的取值范围．
21．已知函数.
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围.
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《北京市育才学校2024-2025学年高二下学期6月月考数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
B
C
D
C
D
D
D
题号
15
答案
ABC
1．B
【分析】直接利用余弦函数的导数公式求解即可.
【详解】因为，
所以，故选B.
【点睛】本题主要考查基本初等函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.
2．C
【分析】由递推关系，判断数列是公差为的等差数列，结合等差数列通项公式求结论.
【详解】根据题意，由于，
可知数列是公差为的等差数列，
又，
所以数列的通项公式为，
所以，
故选：C．
3．D
【分析】根据条件概率公式直接可得解.
【详解】设事件为当天下雨，事件为当天刮风，
则，，
则已知刮风的条件下，也下雨的概率，
故选：D.
4．B
【分析】利用等比中项性质列式求解
【详解】等比数列中，.
故选：B.
5．C
【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式列式计算即得.
【详解】依题意，四道题中恰好做对2道的概率.
故选：C
6．D
【分析】数列前项和最小值求法：满足不等式的，即为取得最小值