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四川省泸县第五中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数为（???）
A．744 B．620 C．372 D．162
2．已知，，且，则（???）
A．-6 B．5 C．4 D．6
3．若直线的倾斜角的大小为，则实数（????）
A． B． C． D．
4．设为等差数列，且，则（????）
A．16 B．18 C．20 D．22
5．圆与的公共弦长为（???）
A． B． C． D．4
6．2024年汤姆斯杯暨尤伯杯羽毛球团体锦标赛于4月27日在四川成都开赛．为保证锦标赛顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，若甲去两天，乙去三天，丙和丁各去一天，则不同的安排方法有（???）
A．140种 B．210种 C．420种 D．840种
7．某新能源汽车公司生产的电池容量（单位：千瓦时），且．若质检部门随机抽检块电池，则恰好有块电池的容量在千瓦时以上的概率为（????）
A． B． C． D．
8．设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知正项等比数列的公比为，若，且，则（????）
A． B．
C．是数列中的项 D．，，成等差数列
10．已知双曲线的渐近线与圆相切，，为的左、右焦点，动点在的左支上，则（???）
A． B．为直角三角形
C．周长的最小值为 D．的最小值为2
11．已知棱长为1的正方体，空间内的动点满足，其中，，，且到棱的距离和到平面的距离相等，则（????）
A．当时，的轨迹长度为
B．当时，四面体的体积为定值
C．存在点，使得
D．直线与平面所成角的正弦值最大为
三、填空题
12．的展开式的常数项是(用数字作答)．
13．若函数的导函数是偶函数，则在点处的切线方程为.
14．已知直三棱柱中，，且.若三棱柱的外接球的表面积是，则此三棱柱的体积的最大值是.
四、解答题
15．在数列中，，点在直线上
(1)求数列的通项公式；
(2)记，证明数列的前n项和.
16．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位患者的年龄并得到如下频率分布直方图（每一组区间均是前闭后开），回答下列问题：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
17．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与抛物线交于，两点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）若关于轴的对称点为，求证：直线恒过定点，并求出该点的坐标.
18．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若有两个零点，为的导函数.
（i）求实数的取值范围；
（ii）记较小的一个零点为，证明：.
19．如图，在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，连接，，，将沿着折线翻折，使点到达点位置，连接，形成三棱锥.
(1)若，分别为边，上的中点，，求此时三棱锥外接球的表面积；
(2)若，是的中点.
（ⅰ）求的大小；
（ⅱ）若正方形边长为，当取最小值，取最大值时，求此时直线与平面所成角的正弦值.
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《四川省泸县第五中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
C
A
C
C
B
ABD
BC
题号
11
答案
ABD
1．C
【分析】由甲社区抽取人数和总人数计算可得抽样比，从而可根据抽取的人数计算得到驾驶员总人数.
【详解】由题意可得抽样比为：，
所以.
故选：C
2．D