第1页，共15页，星期日，2025年，2月5日悖论——科学的难题低估悖论的重要性，把它们当作诡辩或者笑料，从科学进步的角度看来是十分危险的......我们必须找到它的原因，就是说，必须分析出悖论所依据的前提；然后，在这个前提中我们必须至少抛弃其中一个，而且还必须研究这将给我们的整个探讨带来什么样的后果。——阿尔弗雷德·塔尔斯基第2页，共15页，星期日，2025年，2月5日逻辑悖论——悖论的核心在某些公认正确的知识背景下，可以合乎逻辑地建立两个矛盾语句相互推出的矛盾等价式。K真，当且仅当，K假。认识论悖论（语义悖论）——“我正在说谎”狭义逻辑悖论（语形悖论）——→集合论第3页，共15页，星期日，2025年，2月5日集合论及其发展背景18世纪，无穷未定义，使微积分理论遇到严重的逻辑困难。19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述。却没有彻底完成微积分的严密化。柯西的思想中甚至能产生逻辑矛盾。19世纪后期，许多数学家又致力于分析的严格化。涉及到对连续函数的描述。在数与连续性的定义中，再次涉及关于无限的理论。一切问题指向一个中心——无穷概念、无限集合第4页，共15页，星期日，2025年，2月5日∞的悖论——漫长的困扰两个同心圆点可以一一对应周长相等吗？线段的整体等于部分吗？N={0，1，2，3，...}A={0，1，4，9，...}F(X)=X?XA是N的子集吗？第5页，共15页，星期日，2025年，2月5日在历史长时期内，哲学家、数学家认为：无穷特别是存在无穷是理性思维永远不可能到达的彼岸。整体总是大于部分的实无穷是不存在的不存在无限集合伽利略，高斯，柯西。。。整体可以等于部分存在实无穷无限集合与其真子集可一一对应康托尔，戴德金。。。第6页，共15页，星期日，2025年，2月5日康托尔超限集合论超限基数?0——自然数集的基数，且N,Z,Q之间可一一对应，基数均为?0得到实数集基数C(连续统基数)，并且证得C?0对任意集合，其幂集PS的基数大于S本身的基数超限序数理论。。。。。。第7页，共15页，星期日，2025年，2月5日素朴集合论的辉煌成就人类对无限的认识摆脱了单纯的∞，无穷有了量度，进入崭新的认识阶段—伊夫斯分析和函数论有了严格的数学基础——集合论“数学已经取得了完全可靠的基础，已经被算术化，绝对严格已经取得”—彭加勒.数学家第二次国际会议集合论成为构建整个数学大厦的基石第8页，共15页，星期日，2025年，2月5日集合论悖论——历史的讥讽康托尔悖论（1895）大全集U的幂集基数比U大吗？布拉里—弗蒂悖论（1897）有关最大序数和良序的悖论罗素悖论（1902）第9页，共15页，星期日，2025年，2月5日罗素悖论——数学的灾难数学描述：设z={xx∈x}z∈z,则z应满足x∈x，故z∈zz∈z,则已经满足了x∈x，故z∈z综上，z∈z，当且仅当，z∈z第10页，共15页，星期日，2025年，2月5日罗素悖论的影响——第三次数学危机集合论的悖论，尤其是罗素和策梅罗所发现的一个矛盾，直接在数学界产生灾难性的作用——希尔伯特狄德金放弃了划时代著作《什么是数和数的应用》的出版弗雷格：我的著作要出版时，发现建筑物的基础塌了拓扑学权威劳威尔宣布自己过去的工作全在说废话。。。。。。第11页，共15页，星期日，2025年，2月5日