理学格林公式理学格林公式理学格林公式10.3格林公式一、区域连通性的分类设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域不含有洞的区域含有洞的区域
10.3格林公式一、区域连通性的分类设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD不含有洞的区域含有洞的区域
边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.
二、格林公式定理1
证明(1)yxoabDcdABCE
同理可证yxodDcCE
证明(2)D两式相加得
GDFCEAB证明(3)由(2)知
几点说明：（1）若D为复连通区域则曲线L应包括内外所有边界并且它们对D均取正向。（2）格林公式建立了平面上的曲线积分与二重积分的关系，它是牛顿莱布尼茨公式在平面上的推广。主要用途：实现曲线积分与二重积分之间的转换，而经常用来将复杂的曲线积分转化为二重积分。
（3）若取则有同理，若取则有若取则有
三、简单应用1.简化曲线积分
xyoAB解：方法1，用曲线积分法起点A，终点B，
xyoAB解：方法2：用格林公式注意L不是一条封闭的曲线补充有向线段：则为封闭曲线，所围区域记为D
解：方法2：用格林公式xyoAB在上，y=0,在上，x=0,
xyo解:在应用格林公式将二重积分化为曲线积分时，关键是要找到P(x,y)和Q(x,y),使得并且这样的P，Q在D的边界上的曲线积分应较简单经观察，可取应用格林公式2.简化二重积分
xyo解:在AB上，y=1，在BO上，x=0所以
xyo解:所以
解令经计算有应用格林公式？格林公式的条件：P、Q在D上具有一阶连续偏导数
解令经计算有xyoL应用格林公式
解令经计算有yxoP、Q在D内不连续为了能用格林公式，在D内以原点为中心作一小圆在复连通域格林公式条件满足
解yxo在复连通域格林公式条件满足
解yxo起点A，终点A
解yxoxyoL该方法俗称“挖洞法。”
解yxoxyoL思考题：为什么要用小圆周去“挖洞”？参考题：计算其中L是以(1,0)为中心，R为半径的圆周(R1),取逆时针方向
例4：求其中，L是以(a,0)为中心，a为半径的上半圆周，逆时针方向，m为常数。解：分析：被积函数比较复杂，无论L的方程取什么形式，直接用曲线积分的方法都比较困难。故考虑用格林公式表达式简单问题：L不是封闭的曲线。yx0
例4：求其中，L是以(a,0)为中心，a为半径的上半圆周，逆时针方向，m为常数。补充有向线段OA，在L与OA所围的区域D上yx0解：
例4：求其中，L是以(a,0)为中心，a为半径的上半圆周，逆时针方向，m为常数。yx0解：在上，y=0,x从0变到2a
例4：求其中，L是以(a,0)为中心，a为半径的上半圆周，逆时针方向，m为常数。yx0解：（1）该题用到的方法俗称“封口法”几点小结（2）“挖洞法”和“封口法”是格林公式应用中两类常见的典型方法。（3）当曲线积分中，函数P、Q使得等于零、常数或比较简单时，要考虑用格林公式。
例5求椭圆所围成图形的面积解所求面积
作业：习题11---3:
2,4,6,7
Gyxo二、曲线积分与路径无关的定义BA如果在区域G内有
二、曲线积分与路径无关的条件定理2
例1：证明曲线积分证明：显然整个xoy面是一个单连通区域，又所以，由定理2，曲线积分在整个xoy面内与路径无关；在整个xoy面内恒成立。在整个xoy面内与路径无关。它们均在整个xoy面内具有一阶连续偏导数。
例2：计算曲线积分在第一象限部分到A(1,1)的路经。其中L为从点O(0,0)沿圆周yx0解：分析：由被积函数知，直接用曲线积分的方法比较困难。由于故所求曲线积分在整个xoy面内与路径无关，因此考虑改变积分路径：所以
例2：计算曲线积分在第一象限部分到A(1,1)的路经。其中L为从点O(0,0)沿圆周yx0在OB上，y=0,在AB上，x=1,解：
例2：计算曲线积分在第一象限部分到A(1,1)的路经。其中L为从点O(0,0)沿圆周解：yx0
解所以积分与路径无关yxo改变积分路径：OC