解：［X－型］第30页，共60页，星期日，2025年，2月5日第31页，共60页，星期日，2025年，2月5日［Y－型］第32页，共60页，星期日，2025年，2月5日例2解：X-型第33页，共60页，星期日，2025年，2月5日例3解：（如图）将D作Y型-12第34页，共60页，星期日，2025年，2月5日例4交换积分次序。解：即第35页，共60页，星期日，2025年，2月5日解：积分区域如图xyo231原式xyoxyo第36页，共60页，星期日，2025年，2月5日例6解：先去掉绝对值符号，如图第37页，共60页，星期日，2025年，2月5日则例7计算，解：画图第38页，共60页，星期日，2025年，2月5日若把区域看成－型区域则求不出来第39页，共60页，星期日，2025年，2月5日例8计算第40页，共60页，星期日，2025年，2月5日例9计算第41页，共60页，星期日，2025年，2月5日选择积分次序的原则：第一次积分易积；积分区域要尽量避免分块。第42页，共60页，星期日，2025年，2月5日calculus微积分经济数学第八章二重积分第1页，共60页，星期日，2025年，2月5日一元函数定积分是求与定义在某一区间上的函数有关的某种总量的数学模型，作为推广，二元函数的二重积分是求与定义在某一平面区域上的函数有关的某种总量的数学模型，这些模型的数学结构相同，都是和式的极限。第2页，共60页，星期日，2025年，2月5日§8.1二重积分的基本概念一、曲顶柱体的体积曲顶柱体是指它的底面是在平面上的有界闭区域，它的侧面是以的边界为准线，母线平行于轴的柱面，它的顶是连续曲面o第3页，共60页，星期日，2025年，2月5日平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公式体积＝底面积高来计算。而对于曲顶柱体，当点在区域上变动时，高度是一个变量，因此它的体积不能直接用上式来计算。第4页，共60页，星期日，2025年，2月5日3）作和4）取极限则曲顶柱体的体积求解过程1）将区域任意分割成个小区域：也表示第块小区域的面积。2）任取点o第5页，共60页，星期日，2025年，2月5日二、二重积分的定义及几何意义设二元函数在有界闭区域上有定义，用任意分法将分成个小闭区域其中表示第个小区域（也表示它的面积），表示的直径中的最大者。在上任取一点，作乘积，并作和当时，如果这个和的极限存在，则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为，即定义第6页，共60页，星期日，2025年，2月5日积分区域积分和被积函数被积表达式面积元素第7页，共60页，星期日，2025年，2月5日注：1在二重积分定义中，对区域D的划分是任意的，故如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D，则除了包含边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形小闭区域的边长为和则第8页，共60页，星期日，2025年，2月5日0xyD直角坐标系下面积元素第9页，共60页，星期日，2025年，2月5日2存在性：当在闭区域D上连续时，函数在D上的二重积分必定存在。以后总假定在D上的二重积分是存在的。3由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数在D上的二重积分第10页，共60页，星期日，2025年，2月5日几何意义1)、若，表示以区域