多元函数取得极值的条件第1页，共21页，星期日，2025年，2月5日
无约束问题取得极值的条件第2页，共21页，星期日，2025年，2月5日
必要条件若函数f(x,y)在点P(x0,y0)存在两个偏导数，且P(x0,y0)是函数f(x,y)的极值点，则驻点充分条件若函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)的某邻域内连续且存在一阶及二阶偏导数，又令则时具有极值，且当A0时有极大值，当A0时有极小值。0时没有极值不能确定n元函数取得极值的条件？第3页，共21页，星期日，2025年，2月5日
梯度具有偏导数，Hesse矩阵第4页，共21页，星期日，2025年，2月5日
必要条件若n元函数f(x)在存在偏导数，且x*是函数f(x)的极值点，则一阶条件二阶条件第5页，共21页，星期日，2025年，2月5日
二阶充分条件证明:所以第6页，共21页，星期日，2025年，2月5日
约束问题取得极值的条件第7页，共21页，星期日，2025年，2月5日
对于多元函数的条件极值，在高等数学中给出Lagrange乘子法。Lagrange乘子法只给出可能极值点，没有给出判别这些点究竟是否是极值点的方法，也没有给出判别是极大值点还是极小值点的方法。问题：对于一般的有约束极值问题，取得极值的条件是什么？一般的约束极值问题：几个概念：可行域：可行方向：(1)第8页，共21页，星期日，2025年，2月5日
指标集起作用集起作用约束在x的领域限制了可行点的范围。当点沿某些方向稍微离开x时，仍能满足约束条件；而沿另一些方向离开x时，不论步长多么小，都将违背这些约束。对于非起作用约束（ci(x)0），x是否是局部最优解与这些非起作用约束无关。序列可行方向：第9页，共21页，星期日，2025年，2月5日
序列可行方向的性质设ci(x)在x处可微，则证明性质1同样可证性质2设fi(x)在x*处可微，且取得局部极小值，则第10页，共21页，星期日，2025年，2月5日
必要条件说明Lagrane函数K——T条件等价于λi称为Lagrange乘子Lagrange乘子法x*称为K——T点一阶条件第11页，共21页，星期日，2025年，2月5日
证明首先证明集合非空由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关，所以该方程组有解考察方程组是SFD(x*,X)的子集第12页，共21页，星期日，2025年，2月5日
而SFD(x*,X)是闭集，所以S*的闭包cl(S*)?SFD(x*,X)，即下面证明第13页，共21页，星期日，2025年，2月5日
下面证明d∈cl(S*)于是所以定理得证第14页，共21页，星期日，2025年，2月5日
一阶充分条件证明第15页，共21页，星期日，2025年，2月5日
二阶条件线性化零约束方向集设x*是K——T点，λ是相应的Lagrange乘子，d∈Rn。如果则称d是在x*处的线性化零约束方向。在x*处的所有线性化零约束方向的集合记为G(x*,λ)序列零约束方向集设x*是K——T点，λ是相应的Lagrange乘子。如果存在序列dk∈Rn和δk0(k=1,2,…)使得则称d是在x*处的序列零约束方向。在x*处的所有序列零约束方向的集合记为S(x*,λ)。可证S(x*,λ)?G(x*,λ)第16页，共21页，星期日，2025年，2月5日
二阶必要条件设x*是问题（1）的局部极小点，λ是相应的Lagrange乘子。则必有证明则存在序列dk∈Rn和δk0(k=1,2,…)使得因此由于x*是问题（1）的局部极小点，对充分大的k有第17页，共21页，星期日，2025年，2月5日
充分条件设x*是K——T点，λ是相应的Lagrange乘子。如果则x*是问题（1）的局部严格极小点。证明第18页，共21页，星期日，2025年，2月5日
定理成立推论设x*是K——T点，λ是相应的Lagrange乘子。如果第19页，共21页，星期日，2025年，2月5日
解作辅助函数得唯一解K——T点x*=(0,0,1)和Lagrange乘子λ=2第20页，共21页，星期日，2025年，2月5日
注第21页，共21页，星期日，2025年，2月5日