第1页，共23页，星期日，2025年，2月5日本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法．内容丰富，难度较大.第2页，共23页，星期日，2025年，2月5日引例一、消元法解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程．第3页，共23页，星期日，2025年，2月5日解第4页，共23页，星期日，2025年，2月5日用“回代”的方法求出解：第5页，共23页，星期日，2025年，2月5日于是解得（2）第6页，共23页，星期日，2025年，2月5日小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（与相互替换）（以替换）（以替换）第7页，共23页，星期日，2025年，2月5日3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．第8页，共23页，星期日，2025年，2月5日因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．第9页，共23页，星期日，2025年，2月5日定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换第10页，共23页，星期日，2025年，2月5日定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换第11页，共23页，星期日，2025年，2月5日等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价第12页，共23页，星期日，2025年，2月5日用矩阵的初等行变换解方程组（1）：第13页，共23页，星期日，2025年，2月5日第14页，共23页，星期日，2025年，2月5日第15页，共23页，星期日，2025年，2月5日第16页，共23页，星期日，2025年，2月5日特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．第17页，共23页，星期日，2025年，2月5日