第1讲典型方程建立第1页，共20页，星期日，2025年，2月5日1.王元明《数学物理方程与特殊函数》东南大学数学系2.谢鸿政等《数学物理方程》哈尔滨工业大学数学系3.谷超豪等《数学物理方程》复旦大学数学系4.王明新《数学物理方程》哈尔滨工业大学数学系第2页，共20页，星期日，2025年，2月5日课程内容：研究数学物理方程的建立、求解方法和解的物理意义分析。第3页，共20页，星期日，2025年，2月5日第一章典型方程和定解条件的推导第4页，共20页，星期日，2025年，2月5日§1基本方程的建立导出数学物理方程的一般方法：确定所研究的物理量；建立适当的坐标系；划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互作用在一个短时间内对所研究物理量的影响，表达为数学式；简化整理，得到方程。第一章典型方程和定解条件的推导第5页，共20页，星期日，2025年，2月5日例1.弦的微小横振动设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。假设与结论：（1）横振动坐标系Oxu，位移u(x,t)x1x2T(x1)T(x2)ux（2）微小振动第一章典型方程和定解条件的推导第6页，共20页，星期日，2025年，2月5日（3）弦柔软、均匀.张力,密度；建立方程：取微元MM’，研究在水平方向和垂直方向MM’在不受外力的情况下的运动情况。uxT(x)MM’xx+dx第一章典型方程和定解条件的推导第7页，共20页，星期日，2025年，2月5日牛顿运动定律：F=m·a作用在弧段上的水平方向的力为 倾角很小，即近似得垂直方向的力为（1）第一章典型方程和定解条件的推导于是等式（1）变成由微积分知识可知，在时刻t有（2）等式（2）可以写成uxT(x)MM’xx+dx由于令，取极限得略去重力，可得方程其中(3)第8页，共20页，星期日，2025年，2月5日弦振动方程（3）中只含有两个自变量和，其中表示时间，表示位置。由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称为一维波动方程。注1.如果在弦的每单位长度上有外力作用，则方程（3）具有下列形式：（4）其中，而外力可以是压力、重力、阻力等。第一章典型方程和定解条件的推导注2.第9页，共20页，星期日，2025年，2月5日例2.传输线方程研究高频传输线内电流流动规律。第一章典型方程和定解条件的推导待研究物理量:电流强度i(x,t),电压v(x,t)R—每一回路单位的串联电阻,L—每一回路单位的串联电感，C—每单位长度的分路电容，G—每单位长度的分路电导，第10页，共20页，星期日，2025年，2月5日第一章典型方程和定解条件的推导Kirchhoff第一,二定律微分两端对x微分两端对t微分*C相减—传输线方程高频传输，G=0,R=0—高频传输线方程与一维波动方程类似第11页，共20页，星期日，2025年，2月5日例3.声学方程第一章数学物理方程的导出和定解问题Lapalce算子三维波动方程第12页，共20页，星期日，2025年，2月5日第一章数学物理方程的导出和定解问题例4静电场的势方程在区域内,静电场强度为,介电常数,电荷密度为,求静电场的势满足的方程即奥氏公式故第13页，共20页，星期日，2025年，2月5日第一章数学物理方程的导出和定解问题故即—Laplace方程—Poisson方程当内没有电荷时静电场是有势场，故存在势函数u,有第14页，共20页，星期日，2025年，2月5日