三、复变函数举例★可见，复数三角函数值可以大于1。1、三角函数2、双曲函数第30页，共84页，星期日，2025年，2月5日4、对数函数3、指数函数第31页，共84页，星期日，2025年，2月5日★对数函数也是多值函数
——详细见§1.6多值函数讨论；★当z为负实数时，因为，有★复数双曲、指数和对数函数的都是周期函数！★所以，复数域，负实数的对数是存在的。★根式函数和对数函数可以构成许多初等复变函数！第32页，共84页，星期日，2025年，2月5日例：求方程sinz=2解：设第33页，共84页，星期日，2025年，2月5日第34页，共84页，星期日，2025年，2月5日★或第35页，共84页，星期日，2025年，2月5日四、极限与连续性★设w=f(z)在z0点的某邻域有定义；★对于?0，存在?0,使★有★称z→z0时w0为极限，记为★注意：z在全平面，z→z0须以任意方式！★若有★称f(z)在z0点连续。1、复变函数的极限2、复变函数的连续性第36页，共84页，星期日，2025年，2月5日§1.3导数1、复变函数导数的定义★w=f(z)是在z点及其邻域定义的单值函数★在z点存在，并与?z→0的方式无关，则第37页，共84页，星期日，2025年，2月5日2、求导法则第38页，共84页，星期日，2025年，2月5日例：证明f(z)=zn在复平面上每点均可导.证：★将进行二项式展开第39页，共84页，星期日，2025年，2月5日例：证明f(z)=z*在复平面上均不可导。证：★请同学们演算！第40页，共84页，星期日，2025年，2月5日3、复变函数可导的必要条件★可导的必要条件★比较两式有称为科西-黎曼条件:C.R.条件第41页，共84页，星期日，2025年，2月5日证：例：证明在z=0处满足C.R.条件，但在z=0处不可导。←满足C.R.条件在z=0处，注意：C.R.条件不是可导的充分条件！同理，得在z=0处第42页，共84页，星期日，2025年，2月5日但是，在z=0处，若?一定，随?而变，故f(z)在z=0处不可导！★