牛顿迭代法的基本思想第1页，共13页，星期日，2025年，2月5日它对应的迭代方程为显然是f(x)=0的同解方程，故其迭代函数为在f(x)=0的根的某个邻域内,在的邻域R内，对任意初值，应用由公式（1）来解方程的方法就称为牛顿迭代法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一.返回下一页上一页第2页，共13页，星期日，2025年，2月5日牛顿法的几何意义由（1）式知是点处的切线 与X轴的交点的横坐标（如图）。也就是说，新的近似值是用代替曲线y=f(x)的切线与x轴相交得到的。继续取点,再做切线与x轴相交，又可得。由图可见，只要初值取的充分靠近,这个序列就会很快收敛于。Newton迭代法又称切线法下一页上一页返回第3页，共13页，星期日，2025年，2月5日返回下一页上一页第4页，共13页，星期日，2025年，2月5日牛顿迭代法的步骤步一、准备。选定初始近似值，计算步二、迭代。按公式迭代一次，得到新的近似值，计算步三、控制。如果满足。则终止迭代，以作为所求的根；否则转步四。此处是允许误差,返回下一页上一页第5页，共13页，星期日，2025年，2月5日而 。其中c是取绝对值或相对误差的控制常数，一般可取c=1。步四、修改。如果迭代次数达到预定指定的次数N，或者 则方法失败；否则以代替转步二继续迭代。返回下一页上一页第6页，共13页，星期日，2025年，2月5日例题例1:用牛顿法求下面方程的根解因,所以迭代公式为选取,计算结果列于下表从计算结果可以看出,牛顿法的收敛速度是很快的,进行了四次迭代就得到了较满意的结果.返回下一页上一页第7页，共13页，星期日，2025年，2月5日例2计算的近似值。?=10-6x0=0.88解：令x=问题转化为求?(x)=x2-0.78265=0的正根由牛顿迭代公式xk+1=xk-?(xk)/?(xk)=xk/2+0.78265/2xk迭代结果k0123xk0.8800000.8846880.8846750.884675满足了精度要求?=0.884675返回下一页上一页第8页，共13页，星期日，2025年，2月5日返回下一页上一页第9页，共13页，星期日，2025年，2月5日2)修正Newton法求m重根迭代公式注：若是方程的m重根，而在的某一邻域内连续，则修正Newton法是局部收敛的，并具有至少二阶的收敛速度。因为：上一页下一页返回考察函数用定义求导第10页，共13页，星期日，2025年，2月5日