第1页，共14页，星期日，2025年，2月5日§5初等因子一、初等因子的概念Definition设的不变因子为。如果其中为非负整数，为数域上互异的首1系数的不可约多项式。则称为的初等因子，而为的全部初等因子为的初等因子(组)。第2页，共14页，星期日，2025年，2月5日Remark1:初等因子与数域有关Remark2:初等因子必须是不可约因式的方幂全体，则称的全部初等因子为的初等因子.Remark3:例1设域上矩阵的标准形为求的初等因子第3页，共14页，星期日，2025年，2月5日二、初等因子与不变因子的关系1.已知的不变因子，可求出其初等因子则的初等因子为第4页，共14页，星期日，2025年，2月5日Properties2)1)在属于同一个一次因式的方幂的指数有递升的分解式中，的性质，即.例如：同一个不可约因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必定出现在的分解中.属于同一个不可约因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.Conclusion初等因子由不变因子唯一确定第5页，共14页，星期日，2025年，2月5日Proposition等价的矩阵有相同的初等因子。Remark该命题的逆不成立。例如：的初等因子相同，但它们不等价。第6页，共14页，星期日，2025年，2月5日2.已知的秩和初等因子，可求出的的不变因子二、初等因子与不变因子的关系方法：将初等因子的方幂按降幂排列(当这些方幂不足个时，用1补足到个)为则为所求第7页，共14页，星期日，2025年，2月5日Theorem它们的秩和初等因子相同.Corollary1它们初等因子相同.Corollary2它们的初等因子相同.第8页，共14页，星期日，2025年，2月5日三、初等因子的求法Theorem对角矩阵的初等因子等于其对角线上诸多项式的不可约因式方幂的全体.Lemma1设多项式与互素,则Example第9页，共14页，星期日，2025年，2月5日Lemma2设且,则第10页，共14页，星期日，2025年，2月5日