第1页，共17页，星期日，2025年，2月5日一、被积函数含参变量的积分上的连续函数,则积分确定了一个定义在[a,b]上的函数,记作x称为参变量,上式称为含参变量的积分.含参积分的性质定理1.(连续性)上连续,则由①确定的含参积分在[a,b]上连续.—连续性,可积性,可微性:①第2页，共17页，星期日，2025年，2月5日证:在闭区域R上连续,所以一致连续,即只要就有就有这说明第3页，共17页，星期日，2025年，2月5日定理1表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可交换的.同理可证,续,则含参变量的积分由连续性定理易得下述可积性定理:第4页，共17页，星期日，2025年，2月5日定理2.(可积性)上连续,同样,推论:在定理2的条件下,累次积分可交换求积顺序,即第5页，共17页，星期日，2025年，2月5日定理3.(可微性)都在证:令函数,第6页，共17页，星期日，2025年，2月5日因上式左边的变上限积分可导,因此右边且有此定理说明,被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时,求导与求积运算是可以交换顺序的.第7页，共17页，星期日，2025年，2月5日例1.解:由被积函数的特点想到积分:第8页，共17页，星期日，2025年，2月5日例2.解:考虑含参变量t的积分所确定的函数显然,由于第9页，共17页，星期日，2025年，2月5日故因此得第10页，共17页，星期日，2025年，2月5日二、积分限含参变量的积分在实际问题中,常遇到积分限含参变量的情形,例如,为定义在区域上的连续函数,则也是参变量x的函数,其定义域为[a,b].利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.第11页，共17页，星期日，2025年，2月5日定理4.(连续性)上连续,则函数证:令则由于被积函数在矩形域上连续,由定理1知,上述积分确定的函数第12页，共17页，星期日，2025年，2月5日