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有限元方法的基本原理

1.有限元方法的数学基础

有限元方法（FiniteElementMethod,FEM）是一种数值分析方法，广泛应用于工程和科学领域，特别是在解决复杂的偏微分方程（PDE）问题中。FEM的核心思想是将连续的物理域离散为有限个简单的子域（称为单元），并通过这些单元来近似求解整个域上的问题。这一节将详细介绍FEM的数学基础，包括变分原理、Galerkin方法、弱形式和刚度矩阵的构建。

1.1变分原理

变分原理是FEM的基础之一。在物理问题中，变分原理通常用于将一个偏微分方程问题转化为一个等效的变分问题。变分问题的求解