例1设三阶实对称矩阵A的特征值为1，-1，0，其中的特征向量分别为求矩阵A。分析这是已知全部特征值与部分特征向量，反求另一部分特征向量及矩阵A的问题，这类问题一般是对实对称矩阵来讨论的，主要是利用实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交的性质。解由于A是实对称矩阵，故有解得，从而设是A对应特征值的特征向量，它与都正交，于是第29页，共45页，星期日，2025年，2月5日解得其基础解系为，于是，令则故例2设三阶实对称矩阵A的秩为2，是A的二重特征值，若都是A的属于特征值6的特征向量。（1）求A的另一个特征值和对应的特征向量。（2）求矩阵A。第30页，共45页，星期日，2025年，2月5日解因为是A的二重特征值，故A属于特征值6的线性无关的特征向量有2个，由题设可得的一个极大无关组为，故是A属于特征值6的线性无关的特征向量。由可知，，所以A的另一个特征值设所对应的特征向量为，则有，即解此方程组的基础解系为，即A属于特征值的特征向量为（为不为零的任意常数）（2）令矩阵，则由第31页，共45页，星期日，2025年，2月5日六、有关特征值与特征向量的证明涉及矩阵A的特征值与特征向量的证明问题，往往是由定义出发，经恒等变形推证有关结论。例1设A和B均是阶非零方阵，且满足证明：（1）0和1必是A和B的特征值；（2）若是A的属于特征值1的特征向量，则必是B的属于特征值0的特征向量。证（1）由，得，又所以有非零解，从而即必是A的特征值。又因为且，从而有非零解，即，故也必是A的特征值。同理可证，0和1必是B的特征值。（2）由题设，则有第32页，共45页，星期日，2025年，2月5日第五讲特征值与特征向量第1页，共45页，星期日，2025年，2月5日知识脉络图解特征值和特征向量定义计算应用性质求特征值求特征向量方阵的相似对角化计算化二次型为标准型对应不同特征值的特征向量线性无关对应于不同特征值的特征向量正交第2页，共45页，星期日，2025年，2月5日重点、难点解读首先要理解特征值和特征向量的定义以及特征向量与相似对角化问题之间的关系。理解两个矩阵相似的定义和必要条件。熟练地掌握特征值及特征向量的求法以及求一个正交矩阵把一个具体的实对称矩阵相似对角化的一般步骤。对于方阵的对角化问题，应掌握以下几个基本结论：⑴阶方阵A可以相似对角化的充分必要条件是A有个线性无关的特征向量；⑵方阵未必总是可以对角化的，但实对称矩阵一定可以相似对角化，而且可以正交相似对角化。第3页，共45页，星期日，2025年，2月5日一、求具体矩阵的特征值与特征向量1、矩阵的特征值与特征向量设A是数域F上的一个阶方阵，如果存在数和数域F上的维非零向量，使得则称为A的特征值，为A的对应特征值的特征向量，称为A的特征矩阵；称为A的特征多项式；