12.5阻尼对振动的影响;12.5.2粘滞阻尼理论;12.5.3有阻尼的自由振动（单自由度体系）;设微分方程的解为;1.考虑λ＜1的情况（即低阻尼情况）;设：;可见，低阻尼时（ξ＜1时）仍属周期运动，但不是简谐运动（因为不是常数，t是变量），是周期性的衰减运动。;【讨论】下面讨论两个问题：;(2)阻尼对振幅的影响;对上式等号两边取倒数（分子与分母换位后）再取自然对数，;令，称为振幅的对数递减率，则;关于求体系振动n周后的振幅，其计算式为：;再引入初始条件，得：;综合以上的讨论可知：当ξ＜1时，体系在自由反应中是会引起振动的；而当阻尼增大到ξ＝1时，体系在自由反应中即不引起振动，这时的阻尼常数称为临界阻尼常数，用cr表示;1)求阻尼比:;4)求结构刚度;【例12-20】图示刚架，它的横梁为无限刚性，质量为2500kg，
由于柱顶施以水平位移y0（初始振幅）作有阻尼自由振动。
已测得对数递减率g=0.1。
试求：(1)振幅衰减至初始振幅5%时，所需的周期数n。
(2)若在25s内振幅衰减到初始振幅的5%时，
柱子的总抗剪刚度k11是多少？
(3)阻尼比x是多少？;;【例12-21】图所示门架横梁EI0＝∞，质量集中在横梁上，设总质量为m（未知）。为了确定水平振动时门架的动力特性，进行了以下振动实验：在横梁处加一水平力FP＝9.8kN，门架发生侧移y0＝0.5cm，然后，突然释放，使结构作自由振动。此时，测得周期T＝1.5s，并测得一个周期后横梁摆回的侧移为y1=0.4cm。
;(2)求振动5周后的振幅y5;12.5.4有阻尼的强迫振动（ξ＜1）;在由t=t到t=t+dt的时段内，荷载的微分冲量。此dS引起的动力反应(对于tt)为;4)如果当t=0时，，，则总位移为;相应的动力位移图如图所示（此图可与无阻尼体系的动力位移图相对照）。由图看出，最初引起的最大位移可能接近最大“静”位移的2倍，然后经过衰减振动，最后停留在静力平衡位置上。;3.简谐荷载;于是有;(3)通解y;(4)关于平稳振动（有阻尼）的讨论;现对式推证如下：;即;【讨论1】关于动力系数β的分析结论;1）当ξ由0→1时，相应曲线变得更为平缓。
2）由于有阻尼，且β总是一个有限值，即有两种极端情况，一种最危险情况：;最大值不发生在处，而稍偏左
令即可求得βmax，
若ξ＝0.1，则
;比较两式：;下面，通过相位角a变化的三个典型情况，来分析振动时相应各力的平衡关系。;谢谢大家！