第五章

分析力学;为什么要学习分析力学?;分析力学是数学、力学研究者为克服上述困难所取得的成果的一部分,在一定程度上解决了上述问题(并末全部解决,有关的研究现在还在继续).它给出了力学系统在完全一般性的广义坐标下具有不变形式的动力学方程组，并突出了能量函数的意义.;分析力学概括了比牛顿力学广泛得多的系统,分析力学的数学形式有着极好的性质,它不仅提供了解决天体力学及一系列动力学问题的较佳途径,同时给量子力学的发展提供了启示,最适于成为引向现代物理的跳板.其最小作用量原理提供了建立相对论力学和量子力学最简练而富有概括性的出发点.;导读;1约束的概念;位形不能决定系统的“力学状态”,仅由某时刻的位形不能预言在下一个时刻系统的位形.对于n个质点的系统，还需知道n个速度矢量才能确定系统的状态．;几乎所有的力学系统都存在着约束。例如,刚体内任意两质点间距离不变,两个刚体用铰链连接,轮子无滑动地滚动,两个质点用不可伸长的绳连接等等.对状态的限制也就是对力学系统内各质点的位置和速度加以限制,其数学表示式是;某些约束仅对力学系统的几何位置加以限制,而对各质点的速度没有限制,这种约束称为几何约束,其数学表示式是;例如:半径为R的圆柱在地面上沿着直线作无滑动地滚动.这意味着着地点的速度为零.;有些运动约束又可以通过积分成为几何约束，例如圆柱无滑动地滚动的约束方程很容易积分为;对非完整约束举例;因为当薄圆盘沿着长度各不相同的不同闭合曲线循行一周回到原处时，盘心坐标(x0，y0)和角?都可以回复到原来的值，但?却未必也恰好回复原值.这就是说，在x0,y0,?和?之间并不存在一种确定不变的关系.这种运动约束是不可能积分的.;例:冰面上滑行的冰刀的简化模型.假定将冰刀抽象为以刚性轻杆相连的两个质点,并设两质点质量相等,杆长为l,当冰刀在冰面上运动时,质心(杆的中点)的速度只能沿杆的方向.选两质点在冰面上的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，则约束条件为;前一个约束条件反映杆长不变,是几何约束,即完整约束.后一个约束条件反映质心速度沿杆的方向,是运动约束;由于它是不可积的,即不能化为几何约束,因而是非完整约束.后一个约束也可表为;约束还分为稳定约束和不稳定约束.

稳定约束不直接依赖于时间,其数学表达式不显含时间;

不稳定约束则明显依赖于时间,其效学表达式显含时间.;例如:单摆的不可伸长的悬绳限制摆球不得向绳伸长的方向运动，但向绳缩短的方向运动却是自由的.;单侧约束的数学表示式是不等式,一般可写为;2约束力;3自由度和广义坐标;系统的独立坐标的个数s叫作系统在有限运动中的自由度——单值地确定一个系统的位形所必需的独立参量的数目.;一般来说,广义坐标不再三个一组地组成矢量,其量纲也不一定是长度量纲.;其随时间的变化率称为广义速度.;如果力学系统除了m个完整约束外，还存在k个非完整约束,则这时并不能解出k个坐标.所以非完整约束不能减少独立坐标的个数,但非完整约束却会减少独立速度分量的个数,这意味着减少独立的坐标无限小变化的个数.;总之,对n个质点的力学系统,若存在着m个完整约束和k个非完整约束,那么,质点的直角坐标数N＝3n,广义坐标个数等于N-m,运动自由度等于N-m-k.;谢谢大家！