解第30页，共43页，星期日，2025年，2月5日第31页，共43页，星期日，2025年，2月5日第1页，共43页，星期日，2025年，2月5日第一节
大数定律第2页，共43页，星期日，2025年，2月5日大量随机试验中大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率生产过程中的废品率字母使用频率……例如：第3页，共43页，星期日，2025年，2月5日弱大数定理（辛钦大数定理）设X1,X2,…是相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望E(Xk)=μ(k=1,2,…)。则对于任意正数ε有前n个变量的算术平均证明：我们只在随机变量的方差D(Xk)=σ2(k=1,2,…)存在这一条件下证明这个定理。第4页，共43页，星期日，2025年，2月5日由切比雪夫不等式上式中令得第5页，共43页，星期日，2025年，2月5日定理的理解:第6页，共43页，星期日，2025年，2月5日定义性质第7页，共43页，星期日，2025年，2月5日注意:第8页，共43页，星期日，2025年，2月5日弱大数定理（辛钦大数定理）第9页，共43页，星期日，2025年，2月5日设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε0，有伯努利大数定理：（辛钦大数定理的推论）或第10页，共43页，星期日，2025年，2月5日证毕或证明由辛钦大数定理即得第11页，共43页，星期日，2025年，2月5日当重复试验次数n充分大时，事件“频率nA/n与概率p的偏差小于ε”概率趋于1。由实际推断原理，实际上这个事件几乎是必定要发生的。这就是所谓的“频率稳定性”。在实际应用中，当试验次数很大时，就可以用事件的频率来代替事件的概率。定理的理解:第12页，共43页，星期日，2025年，2月5日第二节
中心极限定理第13页，共43页，星期日，2025年，2月5日中心极限定理的客观背景在客观实际中，许多随机变量是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的。而其中每一个别因素所起的作用都是微小的。例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的。每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的。这样的随机变量往往近似地服从正态分布！第14页，共43页，星期日，2025年，2月5日下面演示不难看到中心极限定理的客观背景例:20个0-1分布的和的分布X1~f(x)X1+X2~g(x)X1+X2+X3~h(x)几个(0,1)上均匀分布的和的分布0123xfgh第15页，共43页，星期日，2025年，2月5日由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量.在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.第16页，共43页，星期日，2025年，2月5日一、中心极限定理定理1（独立同分布的中心极限定理）第17页，共43页，星期日，2025年，2月5日注3、在一般情况下，我们很难求出的分布函数。但当n很大时，可用正态分布来近似求解。第18页，共43页，星期日，2025年，2月5日定理2（李雅普诺夫定理）第19页，共43页，星期日，2025年，2月5日第20页，共43页，星期日，2025年，2月5日定理的理解:第21页，共43页，星期日，2025年，2月5日定理3（棣莫弗－拉普拉斯定理）设随机变量(n=1,2,‥‥)服从参数n,p(0p1)的二项分布，则对任意x，有证第22页，共43页，星期日，2025年，2月5日定理表明：二项分布的极限分布是正态分布，即证毕。第23页，共43页，星期日，2025年，2月5日二、例题例1于是解第24页，共43页，星期日，2025年，2月5日第25页，共43页，星期日，2025年，2月5日例2(供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车.设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验是观察该台车床在某时刻是否工作,工作的概率0.6,共进行200次独立重复试验.第26页，共43页，星期日，2025年，2月5日用X表示在某时刻工作着的车床数