以上基本概念的图示区域邻域边界点边界(1)圆环域:(2)上半平面:(3)角形域:(4)带形域:例判断下列区域是否有界。答案：(1)有界；(2)(3)(4)无界。第61页，共94页，星期日，2025年，2月5日三、曲线若x=x(t)和y=y(t)是两个连续的实变函数，则方程组代表一条平面曲线，称为连续曲线。若令z(t)=x(t)+iy(t)，则该曲线就可用一个方程z=z(t)(a≤t≤b)来表示，这是平面曲线的复数表示式。例如，以坐标原点为中心，以R为半径的圆周，其参数方程为写成复数形式为z=R(cost+isint)(0≤t≤2π)第62页，共94页，星期日，2025年，2月5日对曲线z(t)=x(t)+iy(t)，若在区间[a,b]上x’(t)和y’(t)都是连续的，且对x∈[a,b]有则称该曲线为光滑的，由几段依次相连的光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线。如下图。第63页，共94页，星期日，2025年，2月5日设C：z=z(t)(a≤t≤b)为一条连续曲线，z(a)与z(b)分别称为曲线C的起点与终点。若对于满足at1b,a≤t2≤b的t1与t2，当t1≠t2时有z(t1)=z(t2)，则称z(t1)为曲线C的重点。没有重点的连续曲线C称为简单曲线或若尔当曲线。若简单曲线C的起点与终点重合，即z(a)=z(b)，则称曲线C为简单闭曲线。换句话说，简单曲线自身不会相交。第64页，共94页，星期日，2025年，2月5日(a)不简单、不闭(b)不简单、闭(c)简单、不闭(d)简单、闭第65页，共94页，星期日，2025年，2月5日判断下列曲线是否为简单曲线?答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭第66页，共94页，星期日，2025年，2月5日(2)在几何意义知，方程表示到点3与1的距离之和为常数4的点的轨迹，因此其图形为以点3和1为焦点，长轴为4的椭圆。设z=x+iy,则方程化为化简整理得所以直角坐标方程为第29页，共94页，星期日，2025年，2月5日(3)设z=x+iy，则由已知得即因此其图形是一条平行x轴的直线。第30页，共94页，星期日，2025年，2月5日二、复球面与无穷点1.南极、北极的定义第31页，共94页，星期日，2025年，2月5日规定：复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应，记作∞。因而球面上的北极N就是复数无穷大∞的几何表示。球面上的点，除去北极N外，与复平面内的点之间存在着一一对应的关系。用球面上的点来表示复数。球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面。2.复球面的定义第32页，共94页，星期日，2025年，2月5日3.扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面。不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面，或简称复平面。对于复数来说，实部、虚部、辐角等概念均无意义，其模规定为正无穷大。复球面的优越处：能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来。注意：若无特别说明，所讲“平面”一般指有限平面，所讲“点”指有限平面上的点。第33页，共94页，星期日，2025年，2月5日4.无穷远点关于无穷远点，规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于：它和有限复数的基本运算为：运算无意义：第34页，共94页，星期日，2025年，2月5日一、乘积与商定理一两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和。证明：第三节复数的乘幂与方根则[证毕]第35页，共94页，星期日，2025年，2月5日两复数相乘就是把模数相乘，辐角相加。从几何上看,两复数对应的向量分别为第36页，共94页，星期日，2025年，2月5日说明由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集。对于左端的任一值,右端必有值与它相对应。例如，第37页，共94页，星期日，2025年，2月5日可将结论推广到n个复数相乘的情况:第38页，共94页，星期日，2025年，2月5日定理二两个复数的商的模等于它们的模的商；两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。证明按照商的定义,[证毕]第39页，共94页，星期日，2025年，2月5日例1已知解：因为所以第40页，共94页，星期日，2025年，2月5日例2已知正三角形的两个顶点解：如图所示,求它的另一顶点。和第41页，共94页，星期日，2025年，2月5日所以第42页，共94页，星期日，2025年，2月5