第1页，共23页，星期日，2025年，2月5日一、总的框架模型分析综合（即设计）1.模型部分不同表达领域模型间的转换如何由物理系统得到状态空间表达由输入/输出描述得到状态空间表达（SISO）能控规范形描述能观测规范形描述对角形（单极点）由状态空间描述得到I/O描述理论计算公式第2页，共23页，星期日，2025年，2月5日实用计算公式两边右乘α(s)(sI-A)比较s同次幂的系数，得第3页，共23页，星期日，2025年，2月5日状态空间表达之间的变换（坐标变换）使系统的性质更加明显几个性质化为能控、能观标准形（SISO已学过）化为约当标准形（对角形已学过）组合系统化为约当规范形*第4页，共23页，星期日，2025年，2月5日2.系统分析定量分析：即第2章的内容，给定初始状态和输入激励，求输出；关键是状态转移矩阵的计算，本科已学过几种计算方法，如直接用定义计算、拉氏变换法、利用凯莱-哈密尔顿定理、sylvester展开、利用对角形等。为了向时变线性系统推广，定义了一般形式的状态转移矩阵，见P50。要仔细看。定性分析：分析系统的能控性和能观测性（第3章）、稳定性（第4章）；第5页，共23页，星期日，2025年，2月5日3.系统综合各种综合方法，第5章重点讲述的内容第6页，共23页，星期日，2025年，2月5日二、关于化一般状态空间表达为约当规范形给定系统{A，B，C，D}，当A的特征值两两相异时，利用特征向量组成变换矩阵，可化为对角形；当A的特征值不是两两相异时，有时可以化为对角形，有时不能化成对角形，只能化为约当形。第7页，共23页，星期日，2025年，2月5日例1由于,故可以找到两个线性无关的相应于λ1的列向量[100]‘，[010]’，相应于特征值2的特征向量为[-101]‘，故变换矩阵为变换后的矩阵为第8页，共23页，星期日，2025年，2月5日例2：如果A具有4重特征值λ1和1重特征值λ2可能的约当形为对角上的分块矩阵称为约当块。一个多重特征值对应几个约当块，各约当块重数是多少，依赖于A的特性，要做深入研究才能确定。第9页，共23页，星期日，2025年，2月5日1、约当形的一般形式第10页，共23页，星期日，2025年，2月5日2、几个重要的概念特征值的代数重数设λi为矩阵A的一个特征值，且则称σi为λi的代数重数。几何重数若则称αi为λi的几何重数。第11页，共23页，星期日，2025年，2月5日零空间零空间也就是方程Ax=0的所有解的集合。很明显，它是一个线性空间。如果零空间的维数为0，则该空间仅包含一个零向量。如果维数为k,则方程Ax=0有k个线性无关的向量解。比较几何重数的定义，可见，几何重数就是（A-λiI)的零空间的维数。第12页，共23页，星期日，2025年，2月5日广义特征向量广义特征向量链第13页，共23页，星期日，2025年，2月5日3、化为约当形的变换矩阵的构成第14页，共23页，星期日，2025年，2月5日第15页，共23页，星期日，2025年，2月5日第16页，共23页，星期日，2025年，2月5日第三章系统运动的稳定性（书中第4章）对定常系统外部描述内部描述稳定性外部稳定性内部稳定性能控能观时第17页，共23页，星期日，2025年，2月5日